Azulejos cuadrados | |
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Tipo | Azulejos regulares |
Configuración de vértice | 4.4.4.4 (o 4 4 ) |
Configuración de la cara | V4.4.4.4 (o V4 4 ) |
Símbolo (s) de Schläfli | {4,4} {∞} × {∞} |
Símbolo (s) de Wythoff | 4 | 2 4 |
Diagrama (s) de Coxeter | |
Simetría | p4m , [4,4], (* 442) |
Simetría de rotación | p4 , [4,4] + , (442) |
Doble | auto-dual |
Propiedades | Vértice-transitivo , borde-transitivo , cara-transitivo |
En geometría , el suelo de baldosas cuadrado , tessellation cuadrado o rejilla cuadrada es un suelo de baldosas regular del plano euclidiano . Tiene el símbolo de Schläfli de {4,4}, lo que significa que tiene 4 cuadrados alrededor de cada vértice .
Conway lo llamó cuadrilla .
El ángulo interno del cuadrado es de 90 grados, por lo que cuatro cuadrados en un punto forman un total de 360 grados. Es uno de los tres mosaicos regulares del avión . Los otros dos son el alicatado triangular y el alicatado hexagonal .
Colorantes uniformes
Hay 9 colores uniformes distintos de un mosaico cuadrado. Nombrar los colores por índices en los 4 cuadrados alrededor de un vértice: 1111, 1112 (i), 1112 (ii), 1122, 1123 (i), 1123 (ii), 1212, 1213, 1234. (i) los casos tienen una reflexión simple simetría y (ii) simetría de reflexión de deslizamiento. Se pueden ver tres en el mismo dominio de simetría que los colores reducidos: 1112 i de 1213, 1123 i de 1234 y 1112 ii reducido de 1123 ii .
9 colores uniformes | |||||||||||
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1111 | 1212 | 1213 | 1112 yo | 1122 | |||||||
p4m (* 442) | p4m (* 442) | mmm (* 2222) | |||||||||
1234 | 1123 yo | 1123 ii | 1112 ii | ||||||||
mmm (* 2222) | cmm (2 * 22) |
Poliedros y teselados relacionados
Este mosaico está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros y mosaicos regulares, que se extiende hacia el plano hiperbólico : {4, p}, p = 3,4,5 ...
* n 42 mutación de simetría de teselaciones regulares: {4, n } | |||||||||||
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Esférico | Euclidiana | Hiperbólico compacto | Paracompacto | ||||||||
{4,3} | {4,4} | {4,5} | {4,6} | {4,7} | {4,8} ... | {4, ∞} |
Este mosaico también está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros regulares y mosaicos con cuatro caras por vértice, comenzando con el octaedro , con el símbolo de Schläfli {n, 4} y el diagrama de Coxeter., con n progresando hasta el infinito.
* n 42 mutación de simetría de teselaciones regulares: { n , 4} | |||||||
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Esférico | Euclidiana | Azulejos hiperbólicos | |||||
2 4 | 3 4 | 4 4 | 5 4 | 6 4 | 7 4 | 8 4 | ... ∞ 4 |
* n 42 mutaciones de simetría de teselaciones dobles cuasirregulares: V (4.n) 2 | |||||||||||
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Simetría * 4n2 [n, 4] | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico compacto | Paracompacto | No compacto | ||||||
* 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] ... | * ∞42 [∞, 4] | [iπ / λ, 4] | ||||
Tiling Conf. | V4.3.4.3 | V4.4.4.4 | V4.5.4.5 | V4.6.4.6 | V4.7.4.7 | V4.8.4.8 | V4.∞.4.∞ | V4.∞.4.∞ |
* n 42 mutación de simetría de teselaciones expandidas: n .4.4.4 | |||||||||||
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Simetría [n, 4], (* n 42) | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico compacto | Paracomp. | |||||||
* 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] | * ∞42 [∞, 4] | |||||
Figuras ampliadas | |||||||||||
Config. | 3.4.4.4 | 4.4.4.4 | 5.4.4.4 | 6.4.4.4 | 7.4.4.4 | 8.4.4.4 | ∞.4.4.4 | ||||
Rómbica cifras config. | V3.4.4.4 | V4.4.4.4 | V5.4.4.4 | V6.4.4.4 | V7.4.4.4 | V8.4.4.4 | V∞.4.4.4 |
Construcciones Wythoff de baldosas cuadradas
Al igual que los poliedros uniformes, hay ocho mosaicos uniformes que pueden basarse en el mosaico cuadrado regular.
Al dibujar los mosaicos de color rojo en las caras originales, amarillo en los vértices originales y azul a lo largo de los bordes originales, las 8 formas son distintas. Tratar Sin embargo caras idéntica, sólo hay tres formas topológicamente distintos: embaldosado cuadrado , embaldosado cuadrado truncado , chata embaldosado cuadrado .
Mosaicos uniformes basados en la simetría del mosaico cuadrado | |||||||||||
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Simetría : [4,4], (* 442) | [4,4] + , (442) | [4,4 + ], (4 * 2) | |||||||||
{4,4} | t {4,4} | r {4,4} | t {4,4} | {4,4} | rr {4,4} | tr {4,4} | sr {4,4} | s {4,4} | |||
Duales uniformes | |||||||||||
V4.4.4.4 | V4.8.8 | V4.4.4.4 | V4.8.8 | V4.4.4.4 | V4.4.4.4 | V4.8.8 | V3.3.4.3.4 |
Azulejos topológicamente equivalentes
Se pueden hacer otros mosaicos cuadriláteros que son topológicamente equivalentes al mosaico cuadrado (4 cuadriláteros alrededor de cada vértice).
Los mosaicos isoédricos tienen caras idénticas ( transitividad de cara ) y transitividad de vértice , hay 18 variaciones, con 6 identificadas como triángulos que no conectan borde a borde, o como cuadrilátero con dos bordes colineales. La simetría dada asume que todas las caras son del mismo color. [1]
Cuadrado p4m, (* 442) | Cuadrilátero p4g, (4 * 2) | Rectángulo pmm, (* 2222) | Paralelogramo p2, (2222) | Paralelogramo pmg, (22 *) | Rombo cmm, (2 * 22) | Rombo pmg, (22 *) |
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Cmm trapezoidal , (2 * 22) | PGG cuadrilátero , (22 ×) | Cometa pmg, (22 *) | PGG cuadrilátero , (22 ×) | Cuadrilátero p2, (2222) |
Isósceles pmg, (22 *) | Isosceles PGG, (22 ×) | Scalene PGG, (22 ×) | Escaleno p2, (2222) |
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Embalaje circular
El mosaico cuadrado se puede utilizar como un empaque circular , colocando círculos de igual diámetro en el centro de cada punto. Cada círculo está en contacto con otros 4 círculos en el embalaje ( número de besos ). [2] La densidad de empaquetamiento es π / 4 = 78,54% de cobertura. Hay 4 colores uniformes de los empaques circulares.
Apeirogons complejos regulares relacionados
Hay 3 apeirogons complejos regulares , que comparten los vértices del mosaico cuadrado. Los apeirogones complejos regulares tienen vértices y aristas, donde las aristas pueden contener 2 o más vértices. Los ápiros regulares p {q} r están restringidos por: 1 / p + 2 / q + 1 / r = 1. Los bordes tienen p vértices y las figuras de los vértices son r -gonales. [3]
Auto-dual | Duales | |
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4 {4} 4 o | 2 {8} 4 o | 4 {8} 2 o |
Ver también
- Tablero de damas
- Lista de politopos regulares
- Lista de mosaicos uniformes
- Celosía cuadrada
- Mosaicos de polígonos regulares
Referencias
- ^ Azulejos y patrones, de la lista de 107 azulejos isoédricos, p.473-481
- ↑ Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p.74-75, patrón circular 3
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, págs. 111-112, p. 136.
- Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3a edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Tabla II: Panales regulares
- Klitzing, Richard. "Mosaicos euclidianos 2D o4o4x - sentadilla - O1" .
- Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. p36
- Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Azulejos y Patrones . Nueva York: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(Capítulo 2.1: Azulejos regulares y uniformes , p. 58-65)
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Cuadrícula cuadrada" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Teselado regular" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Teselado uniforme" . MathWorld .
Espacio | Familia | / / | ||||
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E 2 | Azulejos uniformes | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Hexagonal |
E 3 | Nido de abeja convexo uniforme | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Uniforme de 4 panales | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | Panal de 24 celdas |
E 5 | Uniforme de 5 panales | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Uniforme de 6 panales | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Uniforme de 7 panales | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Uniforme de 8 panal | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Uniforme de 9 panales | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E 10 | Uniforme de 10 panal | {3 [11] } | δ 11 | hδ 11 | qδ 11 | |
E n -1 | Uniforme ( n -1) - panal | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 k2 • 2 k1 • k 21 |