cinco lema
En matemáticas , especialmente en álgebra homológica y otras aplicaciones de la teoría de categorías abeliana , el cinco lema es un lema importante y ampliamente utilizado sobre diagramas conmutativos . El lema de los cinco no solo es válido para categorías abelianas sino que también funciona en la categoría de grupos , por ejemplo.
Los cinco lemas se pueden considerar como una combinación de otros dos teoremas, los cuatro lemas , que son duales entre sí.
Considere el siguiente diagrama conmutativo en cualquier categoría abeliana (como la categoría de grupos abelianos o la categoría de espacios vectoriales sobre un campo dado ) o en la categoría de grupos .
El lema de cinco establece que, si las filas son exactas , m y p son isomorfismos , l es un epimorfismo y q es un monomorfismo , entonces n también es un isomorfismo.
El método de prueba que usaremos se conoce comúnmente como búsqueda de diagramas . [1] Probaremos los cinco lemas probando individualmente cada uno de los dos cuatro lemas.
Para realizar la búsqueda de diagramas, asumimos que estamos en una categoría de módulos sobre algún anillo , por lo que podemos hablar de elementos de los objetos en el diagrama y pensar en los morfismos del diagrama como funciones (de hecho, homomorfismos ) que actúan sobre esos elementos Entonces un morfismo es un monomorfismo si y sólo si es inyectivo , y es un epimorfismo si y sólo si es sobreyectivo . De manera similar, para tratar con la exactitud, podemos pensar en núcleos e imágenes en un sentido de teoría de funciones. La prueba aún se aplicará a cualquier (pequeña) categoría abeliana debido aEl teorema de incrustación de Mitchell , que establece que cualquier categoría abeliana pequeña puede representarse como una categoría de módulos sobre algún anillo. Para la categoría de grupos, simplemente convierta toda la notación aditiva a continuación en notación multiplicativa, y tenga en cuenta que nunca se usa la conmutatividad del grupo abeliano.
