Los teoremas de incrustación de Nash (o teoremas de incrustación ), nombrados en honor a John Forbes Nash , establecen que cada variedad de Riemann se puede incrustar isométricamente en algún espacio euclidiano . Isométrico significa preservar la longitud de cada camino . Por ejemplo, doblar pero sin estirar ni rasgar una página de papel da una incrustación isométrica de la página en el espacio euclidiano porque las curvas dibujadas en la página conservan la misma longitud de arco, independientemente de cómo se doble la página.
El primer teorema es para incrustaciones continuamente diferenciables ( C 1 ) y el segundo para incrustaciones analíticas o incrustaciones que son suaves de clase C k , 3 ≤ k ≤ ∞. Estos dos teoremas son muy diferentes entre sí. El primer teorema tiene una demostración muy simple pero conduce a algunas conclusiones contrarias a la intuición, mientras que el segundo teorema tiene una prueba técnica y contraintuitiva, pero conduce a un resultado menos sorprendente.
El teorema C 1 se publicó en 1954, el teorema C k en 1956. El teorema analítico real fue tratado por primera vez por Nash en 1966; Greene y Jacobowitz (1971) simplificaron considerablemente su argumento . ( Élie Cartan y Maurice Janet demostraron una versión local de este resultado en la década de 1920). En el caso analítico real, los operadores de suavizado (ver más abajo) en el argumento de la función inversa de Nash pueden ser reemplazados por estimaciones de Cauchy. La demostración de Nash del caso C k - se extrapoló más tarde al principio h y al teorema de la función implícita de Nash-Moser . Günther (1989) obtuvo una demostración más simple del segundo teorema de incrustación de Nash, quien redujo el conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales a un sistema elíptico, al que se podría aplicar el teorema de mapeo de contracciones .
Teorema de Nash-Kuiper (teorema de incrustación C 1 )
Teorema. Sea ( M , g ) una variedad de Riemann y ƒ: M m → R n una incrustación (o inmersión ) corta de C ∞ en el espacio euclidiano R n , donde n ≥ m +1. Entonces, para ε> 0 arbitrario, hay una incrustación (o inmersión) ƒ ε : M m → R n que es
- en la clase C 1 ,
- isométrico: para dos vectores cualesquiera v , w ∈ T x ( M ) en el espacio tangente en x ∈ M ,
- ,
- ε-cerca de ƒ:
- .
En particular, como se desprende del teorema de incrustación de Whitney , cualquier variedad de Riemanniana m -dimensional admite una incrustación C 1 isométrica en una vecindad arbitrariamente pequeña en un espacio euclidiano de 2 m- dimensiones.
El teorema fue probado originalmente por John Nash con la condición n ≥ m +2 en lugar de n ≥ m +1 y generalizado por Nicolaas Kuiper , mediante un truco relativamente fácil.
El teorema tiene muchas implicaciones contrarias a la intuición. Por ejemplo, se deduce que cualquier superficie riemanniana de orientación cerrada se puede incrustar isométricamente C 1 en una bola ε arbitrariamente pequeña en el espacio euclidiano 3 (parano existe tal incrustación de C 2 ya que a partir de la fórmula para la curvatura de Gauss, un punto extremo de dicha incrustación tendría una curvatura ≥ ε −2 ). Y existen incrustaciones isométricas C 1 del plano hiperbólico en R 3 .
C k teorema de incrustación
El enunciado técnico que aparece en el artículo original de Nash es el siguiente: si M es una variedad Riemanniana m -dimensional dada (analítica o de clase C k , 3 ≤ k ≤ ∞), entonces existe un número n (con n ≤ m (3 m +11) / 2 si M es un colector compacto, on ≤ m ( m +1) (3 m +11) / 2 si M es un colector no compacto) y un mapa inyectivo ƒ: M → R n ( también analítica o de clase C k ) tal que para cada punto p de M , la derivada dƒ p es un mapa lineal desde el espacio tangente T p M a R n que es compatible con el producto interno dado en T p M y el estándar producto escalar de R n en el siguiente sentido:
para todos los vectores u , v en T p M . Este es un sistema indeterminado de ecuaciones diferenciales parciales (PDE).
En una conversación posterior con Robert M. Solovay , Nash mencionó una falla en el argumento original al derivar el valor suficiente de la dimensión del espacio de incrustación para el caso de variedades no compactas.
El teorema de incrustación de Nash es un teorema global en el sentido de que toda la variedad está incrustada en R n . Un teorema de incrustación local es mucho más simple y se puede demostrar usando el teorema de función implícita del cálculo avanzado en una vecindad de coordenadas de la variedad. La prueba del teorema de inclusión global se basa en la generalización de gran alcance de Nash del teorema de la función implícita, el teorema de Nash-Moser y el método de Newton con poscondicionamiento. La idea básica de la solución de Nash del problema de incrustación es el uso del método de Newton para demostrar la existencia de una solución al sistema anterior de PDE. El método estándar de Newton no converge cuando se aplica al sistema; Nash usa operadores de suavizado definidos por convolución para hacer converger la iteración de Newton: este es el método de Newton con poscondicionamiento. El hecho de que esta técnica proporcione una solución es en sí mismo un teorema de existencia y de interés independiente. También existe un método más antiguo llamado iteración de Kantorovich que usa el método de Newton directamente (sin la introducción de operadores de suavizado).
Referencias
- Greene, Robert E .; Jacobowitz, Howard (1971), "Inserciones isométricas analíticas", Annals of Mathematics , 93 (1): 189-204, doi : 10.2307 / 1970760 , JSTOR 1970760 , MR 0283728
- Günther, Matthias (1989), "Zum Einbettungssatz von J. Nash" [Sobre el teorema de incrustación de J. Nash], Mathematische Nachrichten (en alemán), 144 : 165-187, doi : 10.1002 / mana.19891440113 , MR 1037168
- Kuiper, Nicolaas Hendrik (1955), "On C 1 - isometric incbeddings. I", Indagationes Mathematicae (Proceedings) , 58 : 545–556, doi : 10.1016 / S1385-7258 (55) 50075-8 , MR 0075640
- Kuiper, Nicolaas Hendrik (1955), "En C 1 - incrustaciones isométricas. II", Indagationes Mathematicae (Proceedings) , 58 : 683–689, doi : 10.1016 / S1385-7258 (55) 50093-X , MR 0075640
- Nash, John (1954), " C 1 - incrustaciones isométricas", Annals of Mathematics , 60 (3): 383–396, doi : 10.2307 / 1969840 , JSTOR 1969840 , MR 0065993.
- Nash, John (1956), "El problema de la incrustación de variedades de Riemann", Annals of Mathematics , 63 (1): 20–63, doi : 10.2307 / 1969989 , JSTOR 1969989 , MR 0075639.
- Nash, John (1966), "Analiticidad de las soluciones del problema de función implícita con datos analíticos", Annals of Mathematics , 84 (3): 345–355, doi : 10.2307 / 1970448 , JSTOR 1970448 , MR 0205266.