La teoría de Bass-Serre es una parte de la asignatura matemática de la teoría de grupos que se ocupa del análisis de la estructura algebraica de grupos que actúan por automorfismos sobre árboles simpliciales . La teoría relaciona acciones grupales sobre árboles con grupos en descomposición como aplicaciones iteradas de las operaciones de producto libre con amalgama y extensión HNN , a través de la noción de grupo fundamental de un gráfico de grupos . La teoría de Bass-Serre se puede considerar como una versión unidimensional de la teoría del orbifold .
Historia
La teoría de Bass-Serre fue desarrollada por Jean-Pierre Serre en la década de 1970 y formalizada en Trees , la monografía de Serre de 1977 (desarrollada en colaboración con Hyman Bass ) sobre el tema. [1] [2] La motivación original de Serre era comprender la estructura de ciertos grupos algebraicos cuyos edificios Bruhat-Tits son árboles. Sin embargo, la teoría se convirtió rápidamente en una herramienta estándar de la teoría de grupos geométricos y la topología geométrica , particularmente el estudio de 3 variedades . El trabajo posterior de Bass [3] contribuyó sustancialmente a la formalización y desarrollo de herramientas básicas de la teoría y actualmente el término "teoría de Bass-Serre" se usa ampliamente para describir el tema.
Matemáticamente, la teoría de Bass-Serre se basa en la explotación y generalización de las propiedades de dos construcciones teóricas de grupos más antiguas: producto libre con fusión y extensión HNN . Sin embargo, a diferencia del estudio algebraico tradicional de estas dos construcciones, la teoría de Bass-Serre utiliza el lenguaje geométrico de la teoría de cobertura y los grupos fundamentales . Los gráficos de grupos , que son los objetos básicos de la teoría de Bass-Serre, pueden verse como versiones unidimensionales de orbifolds .
Aparte del libro de Serre, [2] el tratamiento básico de la teoría de Bass-Serre está disponible en el artículo de Bass, [3] el artículo de G. Peter Scott y CTC Wall [4] y los libros de Allen Hatcher , [5] Gilbert Baumslag , [6] Warren Dicks y Martin Dunwoody [7] y Daniel E. Cohen. [8]
Configuración básica
Gráficos en el sentido de Serre
El formalismo de gráficos de Serre es ligeramente diferente del formalismo estándar de la teoría de grafos . Aquí un gráfico A consta de un conjunto de vértices V , un conjunto de bordes E , un mapa de inversión de bordestal que e ≠ e ypara cada e en E , y un mapa de vértice inicial . Así, en A, cada arista e viene equipada con su inversa formal e . El vértice o ( e ) se llama el origen o el vértice inicial de e y el vértice o ( e ) se llama el término de e y se denota t ( e ). Se permiten ambos bordes de bucle (es decir, bordes e tales que o ( e ) = t ( e )) y bordes múltiples . Una orientación en A es una partición de E en la unión de dos subconjuntos disjuntos E + y E - de modo que para cada borde e exactamente uno de los bordes del par e , e pertenece a E + y el otro pertenece a E - .
Gráficos de grupos
Un gráfico de los grupos A consta de los siguientes datos:
- Un gráfico conectado A ;
- Una asignación de un grupo de vértices A v a cada vértice v de A .
- Una asignación de un grupo de aristas A e a cada arista e de A para que tengamospor cada e ∈ E .
- Monomorfismos de frontera para todas las aristas e de A , de modo que cada α e es un homomorfismo de grupo inyectivo .
Para cada el mapa también se denota por .
Grupo fundamental de una gráfica de grupos
Hay dos definiciones equivalentes de la noción de grupo fundamental de un gráfico de grupos: la primera es una definición algebraica directa a través de una presentación de grupo explícita (como una cierta aplicación iterada de productos libres fusionados y extensiones HNN ), y la segunda usando la Lenguaje de los grupoides .
La definición algebraica es más fácil de enunciar:
En primer lugar, elegir un árbol de expansión T en A . El grupo fundamental de A con respecto a T , denotado π 1 ( A , T ), se define como el cociente del producto libre
donde F ( E ) es un grupo libre con base libre E , sujeto a las siguientes relaciones:
- para cada e en E y cada. (La llamada relación Bass-Serre .)
- e e = 1 por cada correo en E .
- e = 1 para cada arista e del árbol de expansión T .
También existe una noción del grupo fundamental de A con respecto a un vértice de base v en V , denotado π 1 ( A , v ), que se define utilizando el formalismo de groupoids . Resulta que para cada elección de un vértice base v y cada árbol de expansión T en A, los grupos π 1 ( A , T ) y π 1 ( A , v ) son naturalmente isomórficos .
El grupo fundamental de un gráfico de grupos también tiene una interpretación topológica natural: es el grupo fundamental de un gráfico de espacios cuyos espacios de vértice y espacios de borde tienen los grupos fundamentales de los grupos de vértices y grupos de bordes, respectivamente, y cuyos mapas de pegado inducir los homomorfismos de los grupos de aristas en los grupos de vértices. Por lo tanto, se puede tomar esto como una tercera definición del grupo fundamental de un gráfico de grupos.
Grupos fundamentales de gráficos de grupos como iteraciones de productos fusionados y extensiones HNN
El grupo G = π 1 ( A , T ) definido anteriormente admite una descripción algebraica en términos de productos libres amalgamados iterados y extensiones HNN . Primero, forme un grupo B como cociente del producto gratuito
sujeto a las relaciones
- e −1 α e ( g ) e = ω e ( g ) para cada e en E + T y cada.
- e = 1 por cada correo en E + T .
Esta presentación se puede reescribir como
lo que muestra que B es un producto libre amalgamado iterado de los grupos de vértices A v .
Entonces el grupo G = π 1 ( A , T ) tiene la presentación
que muestra que G = π 1 ( A , T ) es una extensión HNN múltiple de B con letras estables.
Particiones
Un isomorfismo entre un grupo G y el grupo fundamental de un gráfico de los grupos se llama una división de G . Si los grupos de bordes en la división provienen de una clase particular de grupos (por ejemplo, finito, cíclico, abeliano, etc.), se dice que la división es una división sobre esa clase. Por lo tanto, una división en la que todos los grupos de bordes son finitos se denomina división entre grupos finitos.
Algebraicamente, una división de G con grupos de aristas triviales corresponde a una descomposición de producto libre
donde F ( X ) es un grupo libre con base libre de X = E + ( A - T ) que consta de todos los bordes de orientación positiva (con respecto a alguna orientación en A ) en el complemento de algunos de árbol de expansión T de A .
El teorema de las formas normales
Sea g un elemento de G = π 1 ( A , T ) representado como un producto de la forma
donde e 1 , ..., e n es una trayectoria de borde cerrada en A con la secuencia de vértices v 0 , v 1 , ..., v n = v 0 (es decir, v 0 = o ( e 1 ), v n = t ( e n ) y v i = t ( e i ) = o ( e i +1 ) para 0 < i < n ) y dondepara i = 0, ..., n .
Supongamos que g = 1 en G . Luego
- ya sea n = 0 y a 0 = 1 en,
- o n > 0 y hay algún 0 < i < n tal que e i +1 = e i y.
Las formas normales teorema de inmediato implica que la canónica homomorfismos A v → π 1 ( A , T ) son inyectiva, de modo que podemos pensar en los grupos de vértices A V como subgrupos de G .
Higgins ha dado una bonita versión de la forma normal utilizando el grupoide fundamental de un gráfico de grupos. [9] Esto evita elegir un punto base o un árbol, y ha sido explotado por Moore. [10]
Bass – Serre que cubre los árboles
A cada gráfico de los grupos A , con una elección específica de un vértice base, se puede asociar un árbol de cobertura de Bass-Serre , que es un árbol que viene equipado con una acción de grupo natural del grupo fundamental π 1 ( A , v ) sin inversiones de borde. Además, el gráfico del cociente es isomorfo a A .
De manera similar, si G es un grupo que actúa sobre un árbol X sin inversiones de aristas (es decir, de modo que para cada arista e de X y cada g en G tenemos ge ≠ e ), se puede definir la noción natural de un gráfico de cociente de los grupos A . El gráfico subyacente A de A es la gráfica cociente X / G . Los grupos de vértices de A son isomorfos a los estabilizadores del vértice en G de vértices de X y los grupos de borde de A son isomorfos a los estabilizadores de borde en G de bordes de X .
Además, si X era el árbol de cobertura de Bass-Serre de un gráfico de grupos A y si G = π 1 ( A , v ), entonces el gráfico del cociente de grupos para la acción de G sobre X puede elegirse para que sea naturalmente isomorfo a A .
Teorema fundamental de la teoría de Bass-Serre
Sea G un grupo que actúa sobre un árbol X sin inversiones. Deje que A sea el cociente gráfico de grupos y dejar que v sea una base-vértice en A . Entonces G es isomorfo al grupo π 1 ( A , v ) y hay un isomorfismo equivariante entre el árbol X y el árbol de cobertura de Bass-Serre. Más precisamente, hay un isomorfismo de grupo σ: G → π 1 ( A , v ) y un isomorfismo de gráficotal que para cada g en G , para cada vértice x de X y para cada arista e de X tenemos j ( gx ) = g j ( x ) y j ( ge ) = g j ( e ).
Una de las consecuencias inmediatas del resultado anterior es el teorema clásico de subgrupos de Kurosh que describe la estructura algebraica de subgrupos de productos libres .
Ejemplos de
Producto libre fusionado
Considere una gráfica de grupos A que consta de un solo borde sin bucle e (junto con su inverso formal e ) con dos vértices finales distintos u = o ( e ) y v = t ( e ), grupos de vértices H = A u , K = A v , un grupo de aristas C = A e y los monomorfismos de frontera. Entonces T = A es un árbol de expansión en A y el grupo fundamental π 1 ( A , T ) es isomorfo al producto libre amalgamado
En este caso el árbol Bass – Serre se puede describir de la siguiente manera. El conjunto de vértices de X es el conjunto de clases laterales
Dos vértices gK y fH son adyacentes en X siempre que exista k ∈ K tal que fH = gkH (o, de manera equivalente, siempre que haya h ∈ H tal que gK = fhK ).
El estabilizador G de cada vértice de X de tipo gK es igual a gKg −1 y el estabilizador G de cada vértice de X de tipo gH es igual a gHg −1 . Para una arista [ gH , ghK ] de X, su estabilizador G es igual a gh α ( C ) h −1 g −1 .
Para cada c ∈ C y h ∈ ' k ∈ K' las aristas [ gH , ghK ] y [ gH, gh α ( c ) K ] son iguales y el grado del vértice gH en X es igual al índice [ H : α ( C )]. Del mismo modo, cada vértice de tipo gK tiene grado [ K : ω ( C )] en X .
Extensión HNN
Sea A una gráfica de grupos que consta de un solo borde de bucle e (junto con su inversa formal e ), un solo vértice v = o ( e ) = t ( e ), un grupo de vértices B = A v , un grupo de bordes C = A e y los monomorfismos de frontera. Entonces T = v es un árbol de expansión en A y el grupo fundamental π 1 ( A , T ) es isomorfo a la extensión HNN
con el grupo de base B , estable letra e y los subgrupos asociados H = a ( C ), K = ω ( C ) en B . La composiciónes un isomorfismo y la presentación de extensión HNN anterior de G se puede reescribir como
En este caso el árbol Bass – Serre se puede describir de la siguiente manera. El conjunto de vértices de X es el conjunto de clases laterales VX = { gB : g ∈ G }.
Dos vértices gB y fB son adyacentes en X siempre existe b en B de tal manera que ya sea fB = gbeB o fB = gbe -1 B . El G -stabilizer de cada vértice de X es conjugado a B en G y el estabilizador de cada borde de X es conjugado a H en G . Cada vértice de X tiene un grado igual a [ B : H ] + [ B : K ].
Un gráfico con el gráfico trivial de la estructura de grupos.
Sea A una gráfica de grupos con una gráfica subyacente A tal que todos los grupos de vértices y aristas en A son triviales. Deje que v sea una base-vértice en A . Entonces π 1 ( A , v ) es igual al grupo fundamental π 1 ( A , v ) del gráfico subyacente A en el sentido estándar de la topología algebraica y el árbol de cobertura de Bass-Serrees igual al espacio de cobertura universal estándar de A . Además, la acción de π 1 ( A , v ) sobrees exactamente la acción estándar de π 1 ( A , v ) enpor transformaciones de cubierta .
Hechos y propiedades básicos
- Si A es una gráfica de grupos con un árbol de expansión T y si G = π 1 ( A , T ), entonces para cada vértice v de A el homomorfismo canónico de A v a G es inyectivo.
- Si g ∈ G es un elemento de orden finito, entonces g se conjuga en G con un elemento de orden finito en algún grupo de vértices A v .
- Si F ≤ G es un subgrupo finito, entonces F se conjuga en G a un subgrupo de algún grupo de vértices A v .
- Si el gráfico A es finito y todos los grupos de vértices A v son finitos, entonces el grupo G es virtualmente libre , es decir, G contiene un subgrupo libre de índice finito.
- Si A es finito y todos los grupos de vértices A v se generan de forma finita, entonces G se genera de forma finita.
- Si A es finito y todos los grupos de vértices A v se presentan de forma finita y todos los grupos de aristas A e se generan de forma finita, entonces G se presenta de forma finita.
Acciones triviales y no triviales
Una gráfica de grupos A se llama trivial si A = T ya es un árbol y hay algún vértice v de A tal que A v = π 1 ( A , A ). Esto es equivalente a la condición de que A es un árbol y que para cada arista e = [ u , z ] de A (con o ( e ) = u , t ( e ) = z ) tal que u está más cerca av que z tenemos [ A z : ω e ( A e )] = 1, es decir A z = ω e ( A e ).
Una acción de un grupo G sobre un árbol X sin inversiones de aristas se llama trivial si existe un vértice x de X que está fijado por G , que es tal que Gx = x . Se sabe que una acción de G sobre X es trivial si y solo si el gráfico del cociente de grupos para esa acción es trivial.
Por lo general, en la teoría de Bass-Serre solo se estudian las acciones no triviales en los árboles, ya que los gráficos triviales de grupos no contienen ninguna información algebraica interesante, aunque las acciones triviales en el sentido anterior (por ejemplo, acciones de grupos por automorfismos en árboles enraizados) también pueden ser interesantes para otras razones matemáticas.
Uno de los resultados clásicos y aún importantes de la teoría es un teorema de Stallings sobre los fines de los grupos. El teorema establece que un grupo generado finitamente tiene más de un extremo si y solo si este grupo admite una división no trivial sobre subgrupos finitos, es decir, si y solo si el grupo admite una acción no trivial sin inversiones en un árbol con estabilizadores de bordes finitos. [11]
Un resultado general importante de la teoría establece que si G es un grupo con la propiedad de Kazhdan (T), entonces G no admite ninguna división no trivial, es decir, que cualquier acción de G sobre un árbol X sin inversiones de aristas tiene un vértice fijo global . [12]
Funciones de longitud hiperbólicas
Sea G un grupo que actúa sobre un árbol X sin inversiones de borde.
Por cada g ∈ G puesto
Entonces ℓ X ( g ) se llama la longitud traducción de g en X .
La función
se llama la función de longitud hiperbólica o la función de longitud de traducción para la acción de G en X .
Datos básicos sobre las funciones de longitud hiperbólicas
- Para g ∈ G se cumple exactamente una de las siguientes condiciones:
- (a) ℓ X ( g ) = 0 y g correcciones de un vértice de G . En este caso g se llama una elíptica elemento de G .
- (b) ℓ X ( g )> 0 y hay una línea incrustada bi-infinita única en X , llamada eje de gy denotada L g que es g- invariante. En este caso g actúa sobre L g por traslación de magnitud ℓ X ( g ) y el elemento g ∈ G se llama hiperbólico .
- Si ℓ X ( G ) ≠ 0 entonces existe un mínimo único G -invariant subárbol X G de X . Además, X G es igual a la unión de los ejes de los elementos hiperbólicas de G .
Se dice que la función de longitud ℓ X : G → Z es abeliana si es un homomorfismo de grupo de G a Z y no abeliana en caso contrario. De manera similar, se dice que la acción de G sobre X es abeliana si la función de longitud hiperbólica asociada es abeliana y, de lo contrario, se dice que no es abeliana .
En general, una acción de G en un árbol X se dice sin borde-inversiones a ser mínimo si no hay adecuadas G subárboles -invariant en X .
Un hecho importante en la teoría dice que las acciones mínimas de los árboles no abelianos están determinadas únicamente por sus funciones de longitud hiperbólicas: [13]
Teorema de unicidad
Deje que G sea un grupo con dos acciones mínimas nonabelian sin de borde inversiones en los árboles de X y Y . Supongamos que la hiperbólica funciones longitud ℓ X y ℓ Y en G son iguales, es decir ℓ X ( g ) = ℓ Y ( g ) por cada g ∈ G . Entonces las acciones de G sobre X e Y son iguales en el sentido de que existe un isomorfismo de grafo f : X → Y que es G -equivariante, es decir f ( gx ) = g f ( x ) para cada g ∈ G y cada x ∈ VX .
Desarrollos importantes en la teoría de Bass-Serre
Los desarrollos importantes en la teoría de Bass-Serre en los últimos 30 años incluyen:
- Varios resultados de accesibilidad para grupos presentados finitamente que delimitan la complejidad (es decir, el número de aristas) en un gráfico de descomposición de grupos de un grupo presentado finitamente, donde se imponen algunas restricciones algebraicas o geométricas sobre los tipos de grupos considerados. Estos resultados incluyen:
- El teorema de Dunwoody sobre la accesibilidad de grupos presentados de forma finita [14] afirma que para cualquier grupo G presentado de forma finita existe un límite en la complejidad de las divisiones de G sobre subgrupos finitos (las divisiones son necesarias para satisfacer un supuesto técnico de ser "reducido");
- Bestvina-Feighn generalizada accesibilidad teorema [15] que indica que para cualquier grupo finito presentado G hay un atado de la complejidad de splittings reducidos de G más pequeños subgrupos (la clase de pequeños grupos incluye, en particular, todos los grupos que no contienen no -subgrupos libres abelianos);
- Resultados de accesibilidad cilíndrica para grupos finitamente presentados (Sela, [16] Delzant [17] ) y finitamente generados (Weidmann [18] ) que limitan la complejidad de las llamadas divisiones cilíndricas , es decir, divisiones donde para sus árboles de cobertura Bass-Serre los diámetros de subconjuntos fijos de elementos no triviales de G están uniformemente acotados.
- La teoría de las descomposiciones JSJ para grupos presentados de forma finita. Esta teoría fue motivada por la noción clásica de descomposición JSJ en topología de tres variedades y fue iniciada, en el contexto de grupos hiperbólicos de palabras , por el trabajo de Sela. Las descomposiciones JSJ son divisiones de grupos presentados finitamente en algunas clases de subgrupos pequeños (cíclicos, abelianos, noetherianos, etc., según la versión de la teoría) que proporcionan descripciones canónicas, en términos de algunos movimientos estándar, de todas las divisiones de la agrupar sobre subgrupos de la clase. Hay varias versiones de las teorías de descomposición JSJ:
- La versión inicial de Sela para escisiones cíclicas de grupos hiperbólicos de palabras sin torsión . [19]
- La versión de Bowditch de la teoría JSJ para grupos hiperbólicos de palabras (con posible torsión) codifica sus divisiones en subgrupos virtualmente cíclicos. [20]
- La versión de Rips y Sela de descomposiciones JSJ de grupos finitamente presentados sin torsión que codifican sus divisiones sobre subgrupos abelianos libres . [21]
- La versión de Dunwoody y Sageev de descomposiciones JSJ de grupos presentados finitamente sobre subgrupos noetherianos. [22]
- La versión de Fujiwara y Papasoglu, también de descomposiciones JSJ de grupos finitamente presentados sobre subgrupos noetherianos . [23]
- Una versión de la teoría de descomposición de JSJ para grupos presentados de forma finita desarrollada por Scott y Swarup. [24]
- La teoría de las celosías en grupos de árboles de automorfismo. La teoría de las celosías de árboles fue desarrollada por Bass, Kulkarni y Lubotzky [25] [26] por analogía con la teoría de las celosías en grupos de Lie (es decir, subgrupos discretos de grupos de Lie de co-volumen finito). Para un subgrupo discreto G del grupo de automorfismo de un árbol X localmente finito, se puede definir una noción natural de volumen para el gráfico del cociente de los grupos A como
- El grupo G se llama una red X si vol ( A ) <∞. La teoría de las celosías de árboles resulta útil en el estudio de subgrupos discretos de grupos algebraicos sobre campos locales no arquimedianos y en el estudio de grupos Kac-Moody .
- Desarrollo de métodos de plegado y Nielsen para la aproximación de acciones grupales sobre árboles y análisis de su estructura de subgrupos. [15] [18] [27] [28]
- La teoría de fines y fines relativos de grupos, particularmente varias generalizaciones del teorema de Stallings sobre grupos con más de un fin. [29] [30] [31]
- Resultados de rigidez cuasiisométrica para grupos que actúan sobre árboles. [32]
Generalizaciones
Ha habido varias generalizaciones de la teoría de Bass-Serre:
- La teoría de complejos de grupos (ver Haefliger, [33] Corson [34] Bridson-Haefliger [35] ) proporciona una generalización de dimensiones superiores de la teoría de Bass-Serre. La noción de gráfico de grupos se reemplaza por la de complejo de grupos , donde se asignan grupos a cada celda en un complejo simplicial, junto con monomorfismos entre estos grupos correspondientes a inclusiones de caras (estos monomorfismos son necesarios para satisfacer ciertas condiciones de compatibilidad). . Entonces se puede definir un análogo del grupo fundamental de un gráfico de grupos para un complejo de grupos. Sin embargo, para que esta noción tenga buenas propiedades algebraicas (como la capacidad de incrustación de los grupos de vértices en ella) y para que exista una buena analogía con la noción del árbol de cobertura de Bass-Serre en este contexto, es necesario requerir algún tipo de condición de "curvatura no positiva" para el complejo de grupos en cuestión (ver, por ejemplo, [36] [37] ).
- La teoría de acciones de grupo isométricas en árboles reales (o árboles R ) que son espacios métricos que generalizan la noción teórica de grafos de un árbol (teoría de grafos) . La teoría se desarrolló en gran parte en la década de 1990, donde la máquina Rips de Eliyahu Rips sobre la teoría de la estructura de acciones grupales estables en árboles R jugó un papel clave (ver Bestvina-Feighn [38] ). Esta teoría de la estructura asigna a una acción isométrica estable de un grupo G generado finitamente una cierta aproximación de "forma normal" de esa acción por una acción estable de G en un árbol simplicial y por lo tanto una división de G en el sentido de la teoría de Bass-Serre. Las acciones grupales en árboles reales surgen naturalmente en varios contextos en topología geométrica : por ejemplo, como puntos de límite del espacio de Teichmüller [39] (cada punto en el límite de Thurston del espacio de Teichmüller está representado por una laminación geodésica medida en la superficie; esta laminación se eleva a la cubierta universal de la superficie y un objeto naturalmente dual a ese ascensor es un árbol R dotado de una acción isométrica del grupo fundamental de la superficie), como los límites de Gromov-Hausdorff de las acciones del grupo kleiniano , apropiadamente reescaladas , [ 40] [41] y así sucesivamente. El uso de maquinaria de árboles R proporciona atajos sustanciales en las pruebas modernas del teorema de hiperbolización de Thurston para los colectores 3 de Haken . [41] [42] De manera similar, los árboles R desempeñan un papel clave en el estudio del espacio exterior de Culler - Vogtmann [43] [44] , así como en otras áreas de la teoría de grupos geométricos ; por ejemplo, los conos asintóticos de los grupos a menudo tienen una estructura en forma de árbol y dan lugar a acciones grupales en árboles reales . [45] [46] El uso de árboles R , junto con la teoría de Bass-Serre, es una herramienta clave en el trabajo de Sela sobre la resolución del problema de isomorfismo para grupos hiperbólicos de palabras (sin torsión) , la versión de Sela del JSJ -Teoría de la descomposición y el trabajo de Sela sobre la Conjetura de Tarski para grupos libres y la teoría de grupos límite . [47] [48]
- La teoría de acciones grupales en árboles Λ , donde Λ es un grupo abeliano ordenado (como R o Z ) proporciona una generalización adicional tanto de la teoría de Bass-Serre como de la teoría de acciones grupales en árboles R (ver Morgan, [ 49] Alperin-Bass, [13] Chiswell [50] ).
Ver también
- Teoría de grupos geométricos
Referencias
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