En geometría diferencial , un colector afín es una variedad diferenciable equipado con una plana , libre de torsión de conexión .
De manera equivalente, es una variedad que está (si está conectada) cubierta por un subconjunto abierto de, con monodromía actuando por transformaciones afines . Esta equivalencia es un corolario fácil del teorema de Cartan-Ambrose-Hicks .
De manera equivalente, es una variedad equipada con un atlas, llamado estructura afín , de modo que todas las funciones de transición entre gráficos son transformaciones afines (es decir, tienen una matriz jacobiana constante); [1] dos atlas son equivalentes si la variedad admite un atlas subyugado a ambos, siendo afines las transiciones de ambos atlas a un atlas más pequeño. Una variedad que tiene una estructura afín distinguida se llama una variedad afín y los gráficos que están relacionados de manera afín con los de la estructura afín se denominan gráficos afines . En cada dominio de coordenadas afines, los campos del vector de coordenadas forman una paralelización de ese dominio, por lo que hay una conexión asociada en cada dominio. Estas conexiones definidas localmente son las mismas en partes superpuestas, por lo que existe una conexión única asociada con una estructura afín. Tenga en cuenta que existe un vínculo entre la conexión lineal (también llamada conexión afín ) y un archivo web .
Definicion formal
Una variedad afín es una variedad real con gráficos tal que para todos dónde denota el grupo de Lie de transformaciones afines. En palabras más elegantes, es un colector (G, X) donde y es el grupo de transformaciones afines.
Una variedad afín se llama completa si su cobertura universal es homeomórfica para.
En el caso de un colector afín compacto , dejar ser el grupo fundamental de y sea su cubierta universal . Uno puede demostrar que cada-La variedad afín dimensional viene con un mapa en desarrollo , y un homomorfismo , tal que es una inmersión y equivariante con respecto a.
Un grupo fundamental de una variedad afín plana completa compacta se denomina grupo cristalográfico afín . La clasificación de grupos cristalográficos afines es un problema difícil, lejos de estar resuelto. Los grupos cristalográficos de Riemann (también conocidos como grupos de Bieberbach ) fueron clasificados por Ludwig Bieberbach , respondiendo a una pregunta planteada por David Hilbert . En su trabajo sobre el problema número 18 de Hilbert , Bieberbach demostró que cualquier grupo cristalográfico riemanniano contiene un subgrupo abeliano de índice finito.
Conjeturas importantes de larga data
La geometría de variedades afines es esencialmente una red de conjeturas de larga data; la mayoría de ellos probados en baja dimensión y algunos otros casos especiales.
Los más importantes son:
- Conjetura de Markus (1961) que establece que una variedad afín compacta es completa si y solo si tiene un volumen constante. [2] Conocido en dimensión 3.
- Conjetura de Auslander (1964) [3] [4] que establece que cualquier grupo cristalográfico afín contiene un subgrupo policíclico de índice finito . Conocido en dimensiones hasta 6, [5] y cuando la holonomía de la conexión plana conserva una métrica de Lorentz . [6] Dado que cada grupo cristalográfico virtualmente policíclico conserva una forma de volumen, la conjetura de Auslander implica la parte "sólo si" de la conjetura de Markus. [7]
- Conjetura de Chern (1955) La clase de Euler de una variedad afín desaparece. [8]
Notas
- ^ Obispo, RL; Goldberg, SI (1968), págs. 223-224.
- ^ Hirsch M. y Thurston W., "Paquetes foliados, medidas invariantes y variedades planas", Ann. Matemáticas. (2) 101, (1975) 369–390.
- ^ Auslander L., "La estructura de variedades afines localmente completas", Topología 3 (1964), 131-139.
- ^ Fried D. y Goldman W., "Grupos cristalográficos afines tridimensionales", Adv. Matemáticas. 47 (1983), 1-49.
- ^ H. Abels, GA Margulis y GA Soifer, "Sobre el cierre de Zariski de la parte lineal de un grupo correctamente discontinuo de transformaciones afines", J. Differential Geom. , 60 (2002), 315344.
- ↑ William M. Goldman y Yoshinobu Kamishima, El grupo fundamental de una forma espacial compacta plana de Lorentz es virtualmente policíclico , J. Differential Geom. Volumen 19, Número 1 (1984)
- ^ Herbert Abels, "Grupos correctamente discontinuos de transformaciones afines: una encuesta", Geom. Dedicata , 87, 309–333 (2001).
- ^ Kostant B., Sullivan D., "La característica de Euler de una forma espacial afín es cero", Bull. Amer. Matemáticas. Soc. 81 (1975), núm. 5, 937–938.
Referencias
- Nomizu, K .; Sasaki, S. (1994), Geometría diferencial afín , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-44177-3
- Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
- Bishop, RL ; Goldberg, SI (1968), Tensor Analysis on Manifolds (Primera edición de Dover 1980), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6