En matemáticas , la derivada de Pincherle [1] T ' de un operador lineal T : K [ x ] → K [ x ] en el espacio vectorial de polinomios en la variable x sobre un campo K es el conmutador de T con la multiplicación por x en el álgebra de endomorfismos Fin ( K [ x ]). Es decir, T ' es otro operador lineal T' : K[ x ] → K [ x ]
(para conocer el origen de la notación del anuncio, consulte el artículo sobre la representación adjunta ) para que
Este concepto lleva el nombre del matemático italiano Salvatore Pincherle (1853-1936).
Propiedades
La derivada de Pincherle, como cualquier conmutador , es una derivación , lo que significa que satisface las reglas de suma y productos: dados dos operadores lineales y perteneciendo a
- ;
- dónde es la composición de los operadores ;
Uno tambien tiene dónde es el paréntesis de Lie habitual , que se deriva de la identidad de Jacobi .
La derivada habitual, D = d / dx , es un operador de polinomios. Mediante un cálculo sencillo, su derivada de Pincherle es
Esta fórmula se generaliza a
por inducción . Demuestra que la derivada de Pincherle de un operador diferencial
es también un operador diferencial, de modo que la derivada de Pincherle es una derivación de .
Cuándo tiene característica cero, el operador de turno
Se puede escribir como
por la fórmula de Taylor . Su derivado de Pincherle es entonces
En otras palabras, los operadores de desplazamiento son vectores propios de la derivada de Pincherle, cuyo espectro es todo el espacio de escalares..
Si T es equivariante de desplazamiento , es decir, si T conmuta con S h o, entonces también tenemos , así que eso también es equivariante de turno y para el mismo turno .
El "operador delta de tiempo discreto"
es el operador
cuya derivada de Pincherle es el operador de desplazamiento .
Ver también
Referencias
- ^ Rota, Gian-Carlo; Mullin, Ronald (1970). Teoría de grafos y sus aplicaciones . Prensa académica. págs. 192 . ISBN 0123268508.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. " Derivado de Pincherle ". De MathWorld — Un recurso web de Wolfram.
- Biografía de Salvatore Pincherle en el archivo MacTutor History of Mathematics .