series de Fourier

Una serie de Fourier ( / ˈ f ʊr i eɪ , - i ər / [1] ) es una suma que representa una función periódica como una suma de ondas seno y coseno . La frecuencia de cada onda en la suma, o armónico , es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental de la función periódica . La fase y la amplitud de cada armónico se pueden determinar mediante el análisis de armónicos . Una serie de Fourier puede contener potencialmente un infinitonúmero de armónicos. Sumar parte, pero no todos, los armónicos en la serie de Fourier de una función produce una aproximación a esa función. Por ejemplo, usar los primeros armónicos de la serie de Fourier para una onda cuadrada produce una aproximación de una onda cuadrada.

Una onda cuadrada (representada como el punto azul) se aproxima por su sexta suma parcial (representada como el punto púrpura), formada por la suma de los primeros seis términos (representados como flechas) de la serie de Fourier de la onda cuadrada. Cada flecha comienza en la suma vertical de todas las flechas a su izquierda (es decir, la suma parcial anterior).

Las primeras cuatro sumas parciales de la serie de Fourier para una onda cuadrada . A medida que se agregan más armónicos, las sumas parciales convergen (se vuelven más y más parecidas) a la onda cuadrada.

La función (en rojo) es una suma en serie de Fourier de 6 ondas sinusoidales armónicamente relacionadas (en azul). Su transformada de Fourier es una representación en el dominio de la frecuencia que revela las amplitudes de las ondas sinusoidales sumadas.

Casi cualquier función periódica [A] se puede representar mediante una serie de Fourier que converge . [B] La convergencia de la serie de Fourier significa que a medida que se suman más y más armónicos de la serie, cada suma sucesiva de la serie parcial de Fourier se aproximará mejor a la función y la igualará con un número potencialmente infinito de armónicos. Las pruebas matemáticas para esto pueden denominarse colectivamente como el Teorema de Fourier (ver § Convergencia ).

Las series de Fourier solo pueden representar funciones que son periódicas. Sin embargo, las funciones no periódicas se pueden manejar utilizando una extensión de la serie de Fourier llamada transformada de Fourier, que trata las funciones no periódicas como periódicas con un período infinito. Por lo tanto, esta transformada puede generar representaciones en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas, así como funciones periódicas, lo que permite convertir una forma de onda entre su representación en el dominio del tiempo y su representación en el dominio de la frecuencia.

Fig. 1. El gráfico superior muestra una función no periódica s ( x ) en azul definida solo sobre el intervalo rojo de 0 a P . La función se puede analizar en este intervalo para producir la serie de Fourier en el gráfico inferior. La serie de Fourier es siempre una función periódica, incluso si la función original s ( x ) no lo fuera.
Fig. 2. La curva azul es la correlación cruzada de una onda cuadrada y una función coseno, ya que el desfase del coseno varía en un ciclo. La amplitud y el desfase en el valor máximo son las coordenadas polares de un armónico en la expansión de la serie de Fourier de la onda cuadrada. Las coordenadas cartesianas correspondientes se pueden determinar evaluando la correlación cruzada en solo dos retrasos de fase separados por 90º.
Gráfico de la onda de diente de sierra , una continuación periódica de la función lineal en el intervalo
Trama animada de las primeras cinco series parciales sucesivas de Fourier
Distribución de calor en una placa de metal, utilizando el método de Fourier
Serie compleja de Fourier trazando la letra 'e'. (El código fuente de Julia que genera los cuadros de esta animación está aquí [16] en el Apéndice B).
Los orbitales atómicos de la química se describen parcialmente mediante armónicos esféricos , que se pueden utilizar para producir series de Fourier en la esfera .
Los senos y los cosenos forman un conjunto ortonormal, como se ilustra arriba. La integral de seno, coseno y su producto es cero (las áreas verde y roja son iguales y se cancelan) cuando , o las funciones son diferentes, y π solo si y son iguales, y la función utilizada es la misma.