En el campo matemático de la teoría de nudos , Fox n -coloring es un método para especificar una representación de un grupo de nudos o un grupo de un vínculo (que no debe confundirse con un grupo de vínculos ) en el grupo diedro de orden n donde n es un entero impar coloreando arcos en un diagrama de enlace (la representación en sí también se denomina a menudo coloración de Fox n ). Ralph Fox descubrió este método (y el caso especial de tricolorabilidad) "en un esfuerzo por hacer que el tema sea accesible para todos" cuando estaba explicando la teoría de nudos a estudiantes de pregrado en Haverford College en 1956. Fox n -coloring es un ejemplo de un quandle de conjugación .
Definición
Sea L un enlace y dejeser el grupo fundamental de su complemento. Una representación de sobre el grupo diédrico de orden 2n se llama un Fox n -Coloreado (o simplemente un n -Coloreado) de L . Se dice que un enlace L que admite tal representación es n -colorable , yse denomina n -Coloreado de L . Tales representaciones de grupos de enlaces se habían considerado en el contexto de la cobertura de espacios desde Reidemeister en 1929. [En realidad, Reidemeister explicó completamente todo esto en 1926, en la página 18 de "Knoten und Gruppen" en Hamburger Abhandlungen 5.]
El grupo de un enlace se genera mediante rutas desde un punto base en hasta el límite de una vecindad tubular del enlace, alrededor de un meridiano de la vecindad tubular y de regreso al punto base. Por la sobrejetividad de la representación, estos generadores deben mapear los reflejos de un n -gon regular . Tales reflexiones corresponden a elementosdel grupo diedro, donde t es un reflejo y s es un generador () rotación del n -gon. Los generadores del grupo de un enlace dado anteriormente están en correspondencia biyectiva con los arcos de un diagrama de enlace , y si un generador se asigna a coloreamos el arco correspondiente . Esto se denomina coloración Fox n del diagrama de vínculos y satisface las siguientes propiedades:
- Se utilizan al menos dos colores (por sobrejetividad de ).
- Alrededor de un cruce, el promedio de los colores de los arcos de cruce inferior es igual al color del arco de cruce superior (porque es una representación del grupo del enlace).
Un enlace de color n produce un M de 3 variedades tomando la cubierta diedra (irregular) de la esfera de 3 ramificada sobre L con monodromía dada por. Por un teorema de Montesinos y Hilden, cualquier variedad 3 orientada cerrada puede obtenerse de esta manera para algún nudo K yalgunos tricoloring de K . Esto ya no es cierto cuando n es mayor que tres.
Numero de colorantes
El número de distintos colores Fox n de un enlace L , denotado
es una invariante del enlace, que es fácil de calcular a mano en cualquier diagrama de enlace coloreando los arcos de acuerdo con las reglas de coloración. Al contar los colores, por convención también consideramos el caso en el que a todos los arcos se les da el mismo color, y llamamos trivial a ese color.
Por ejemplo, el diagrama de cruce mínimo estándar del nudo Trefoil tiene 9 tricolores distintos como se ve en la figura:
- 3 colores "triviales" (cada arco azul, rojo o verde)
- 3 coloraciones con el pedido Azul → Verde → Rojo
- 3 coloraciones con el pedido Azul → Rojo → Verde
El conjunto de coloraciones Fox 'n' de un enlace forma un grupo abeliano , donde la suma de dos n- coloraciones es la n- coloración obtenida por adición de hebras. Este grupo se divide como una suma directa
- ,
donde el primer sumando corresponde a los n colores triviales (constantes) y elementos distintos de cero delos sumandos corresponden a colores n no triviales ( traducciones de módulo obtenidas agregando una constante a cada hebra).
Si es el operador de suma conectado y y son enlaces, entonces
Generalización a G -coloring
Sea L un enlace, sea π el grupo fundamental de su complemento y sea G un grupo. Un homomorfismo de π a G se llama un G -Coloreado de L . A G -Coloreado de un diagrama de nudo es una indujo la asignación de un elemento de G a las hebras de L tal que, en cada cruce, si c es el elemento de G asignado a la overcrossing hebra y si un y b son los elementos de G asignado a las dos hebras de subcruzamiento, entonces a = c −1 bc o b = c −1 ac , dependiendo de la orientación de la hebra de supercruzamiento. Si el grupo G es diedro de orden 2n , esta representación esquemática de un color G se reduce a un color Fox n . El nudo toroidal T (3,5) tiene sólo n- coloraciones constantes , pero para el grupo G igual al grupo alterno A 5 , T (3,5) tiene coloraciones G no constantes .
Otras lecturas
- Richard H. Crowell, Ralph H. Fox , "Introducción a la teoría de los nudos", Ginn and Co., Boston, 1963. MR 0146828
- Ralph H. Fox , Un viaje rápido a través de la teoría de los nudos , en: MK Fort (Ed.), "Topología de los 3 colectores y temas relacionados", Prentice-Hall, Nueva Jersey, 1961, págs. 120–167. SEÑOR0140099
- Ralph H. Fox , invariantes metacíclicos de nudos y enlaces , Canadian Journal of Mathematics 22 (1970) 193-201. SEÑOR0261584
- Józef H. Przytycki , 3 colores y otros invariantes elementales de nudos. Publicaciones del Centro Banach, vol. 42, "Knot Theory", Warszawa, 1998, 275-295.
- Kurt Reidemeister , Knotten und verkettungen , Math. Z.29 (1929), 713-729. SEÑOR1545033