En el campo matemático de la teoría de nudos , la tricolorabilidad de un nudo es la capacidad de un nudo para ser coloreado con tres colores sujeto a ciertas reglas. La tricolorabilidad es un invariante isotópico y, por lo tanto, se puede utilizar para distinguir entre dos nodos diferentes (no isotópicos ). En particular, dado que el nudo no es tricolorable, cualquier nudo tricolorable es necesariamente no trivial.
Reglas de tricolorabilidad
Un nudo es tricolorable si cada hebra del diagrama de nudos se puede colorear en uno de los tres colores, sujeto a las siguientes reglas: [1]
- 1. Deben usarse al menos dos colores, y
- 2. En cada cruce, las tres hebras incidentes son todas del mismo color o de diferentes colores.
En cambio, algunas referencias afirman que deben utilizarse los tres colores. [2] Para un nudo, esto es equivalente a la definición anterior; sin embargo, para un enlace no lo es.
"El nudo de trébol y el trivial de 2 eslabones son triviales, pero el desanudo, el eslabón de Whitehead y el nudo en forma de ocho no lo son. Si la proyección de un nudo es tricolorable, entonces Reidemeister se mueve sobre el nudo para preservar la tricoloración, por lo que cada proyección de un nudo es tricolorable o ninguno lo es ". [1]
Ejemplos de
Aquí hay un ejemplo de cómo colorear un nudo de acuerdo con las reglas de tricolor. Por convención, los teóricos de los nudos usan los colores rojo, verde y azul.
Ejemplo de nudo tricolorable
El nudo abuelita es tricolorable. En este color, las tres hebras en cada cruce tienen tres colores diferentes. Colorear uno pero no ambos de los nudos del trébol de rojo también daría una coloración admisible. El nudo del verdadero amante también es tricolorable. [3]
Los nudos tricolorables con menos de nueve cruces incluyen 6 1 , 7 4 , 7 7 , 8 5 , 8 10 , 8 11 , 8 15 , 8 18 , 8 19 , 8 20 y 8 21 .
Ejemplo de un nudo no tricolorable
El nudo en forma de ocho no es tricolorable. En el diagrama que se muestra, tiene cuatro hebras con cada par de hebras que se encuentran en algún cruce. Si tres de las hebras tuvieran el mismo color, entonces todas las hebras se verían obligadas a ser del mismo color. De lo contrario, cada uno de estos cuatro hilos debe tener un color distinto. Dado que la tricolorabilidad es un nudo invariante, ninguno de sus otros diagramas puede ser tricolor tampoco.
Invariante isotópico
La tricolorabilidad es una isotopía invariante , que es una propiedad de un nudo o enlace que permanece constante independientemente de cualquier isotopía ambiental . Esto se puede probar examinando los movimientos de Reidemeister . Dado que cada movimiento de Reidemeister se puede realizar sin afectar la tricolorabilidad, la tricolorabilidad es una isotopía invariante.
Reidemeister Move I es tricolor. | Reidemeister Move II es tricolor. | Reidemeister Move III es tricolor. |
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Propiedades
Debido a que la tricolorabilidad es una clasificación binaria (un vínculo puede ser tricolorable o no), es una invariante relativamente débil. La composición de un nudo tricolorable con otro nudo siempre es tricolor. Una forma de fortalecer el invariante es contar el número de posibles 3 coloraciones. En este caso, la regla de que se usan al menos dos colores es relajada y ahora cada enlace tiene al menos tres 3 colores (solo colorea cada arco del mismo color). En este caso, un enlace puede 3 colores si tiene más de tres 3 colores.
Cualquier enlace separable con un componente separable tricolorable también es tricolorable.
En nudos de toro
Si el nudo / enlace del toro denotado por (m, n) es tricolorable, entonces también lo son (j * m, i * n) y (i * n, j * m) para cualquier número natural i y j.
Ver también
Fuentes
- ↑ a b Weisstein, Eric W. (2010). Enciclopedia Concisa de Matemáticas CRC , Segunda Edición, p.3045. ISBN 9781420035223 . cotizado enWeisstein, Eric W. "Tricolorable" . MathWorld . Consultado: 5 de mayo de 2013.
- ^ Gilbert, ND y Porter, T. (1994) Nudos y superficies , p. 8
- ^ Bestvina, Mladen (febrero de 2003). " Nudos: un folleto para círculos matemáticos ", Math.Utah.edu .
Otras lecturas
- Weisstein, Eric W. "Nudo de tres colores" . MathWorld . Consultado: 5 de mayo de 2013.