En la teoría de nudos , un área de las matemáticas , el grupo de enlaces de un enlace es un análogo del grupo de nudos de un nudo . Fueron descritos por John Milnor en su Ph.D. tesis, ( Milnor 1954 ). En particular, el grupo de enlaces no es en general el grupo fundamental del complemento de enlaces .
Definición
El grupo de enlaces de un enlace de n componentes es esencialmente el conjunto de enlaces de componentes ( n + 1) que extienden este enlace, hasta la homotopía de enlaces. En otras palabras, se permite que cada componente del enlace extendido se mueva a través de homotopía regular (homotopía a través de inmersiones ), anudando o desanudando a sí mismo, pero no se le permite moverse a través de otro componente. Esta es una condición más débil que la isotopía: por ejemplo, el enlace de Whitehead tiene el número de enlace 0 y, por lo tanto, es un enlace homotópico al desvincular , pero no es isotópico al desvincular.
El grupo de enlace no es el grupo fundamental del complemento de enlace , ya que los componentes del enlace pueden moverse a través de sí mismos, aunque no entre sí, pero por lo tanto es un grupo cociente del grupo fundamental del complemento de enlace, ya que se puede comenzar con elementos. del grupo fundamental, y luego al anudar o desanudar componentes, algunos de estos elementos pueden llegar a ser equivalentes entre sí.
Ejemplos de
El grupo de enlace de la desvinculación de n componentes es el grupo libre en n generadores,, ya que el grupo de enlaces de un solo enlace es el grupo de nudos del desanudo , que son los números enteros, y el grupo de enlaces de una unión no vinculada es el producto libre de los grupos de enlaces de los componentes.
El grupo de enlaces del enlace Hopf , el enlace no trivial más simple (dos círculos, enlazados una vez) es el grupo abeliano libre en dos generadores,Tenga en cuenta que el grupo de enlace de dos círculos no enlazados es el grupo no abeliano libre en dos generadores, del cual el grupo abeliano libre en dos generadores es un cociente . En este caso, el grupo de enlace es el grupo fundamental del complemento de enlace, ya que la deformación del complemento de enlace se retrae en un toro.
El enlace de Whitehead es un enlace homotópico al desvincular, aunque no es isotópico al desvincular, y por lo tanto tiene un grupo de enlace del grupo libre en dos generadores.
Invariantes de Milnor
Milnor definió invariantes de un enlace (funciones en el grupo de enlaces) en ( Milnor 1954 ), usando el carácterque, por tanto, se han denominado " invariantes μ -bar de Milnor ", o simplemente "invariantes de Milnor". Para cada k , hay una función k -aryque define invariantes según qué k de los enlaces se selecciona, en qué orden.
Los invariantes de Milnor se pueden relacionar con los productos de Massey en el complemento de enlace (el complemento del enlace); esto fue sugerido en ( Stallings 1965 ) y precisado en ( Turaev 1976 ) y ( Porter 1980 ).
Al igual que con los productos de Massey, los invariantes de Milnor de longitud k + 1 se definen si todos los invariantes de Milnor de longitud menor o igual que k desaparecen. El primer invariante de Milnor (doble) es simplemente el número de enlace (al igual que el producto de Massey doble es el producto de taza, que es dual para la intersección), mientras que el invariante de Milnor triple mide si 3 círculos desvinculados por pares son borromeos anillos , y si es así, en algún sentido, cuántas veces (es decir, los anillos borromeos tienen un invariante triple de Milnor de 1 o -1, dependiendo del orden, pero otros enlaces de 3 elementos pueden tener un invariante de 2 o más, al igual que los números de enlace pueden ser mayores que 1).
Otra definición es la siguiente: considerar un enlace . Suponer que por y . Elija cualquier superficie Seifert para los componentes de enlace respectivos, digamos,, tal que para todos . Entonces el invariante triple de Milnor es igual menos el número de puntos de intersección encontando con signos; ( Cochran 1990 ).
Los invariantes de Milnor también se pueden definir si los invariantes de orden inferior no desaparecen, pero entonces hay una indeterminación, que depende de los valores de las invariantes de orden inferior. Esta indeterminación puede entenderse geométricamente como la indeterminación al expresar un enlace como un enlace de cadena cerrada, como se analiza a continuación (también se puede ver algebraicamente como la indeterminación de los productos Massey si los productos Massey de orden inferior no desaparecen).
Los invariantes de Milnor pueden considerarse invariantes de enlaces de cadena , en cuyo caso se definen universalmente, y la indeterminación del invariante de Milnor de un enlace se debe precisamente a las múltiples formas en que un enlace dado puede cortarse en un enlace de cadena; esto permite la clasificación de enlaces hasta la homotopía de enlaces, como en ( Habegger & Lin 1990 ). Visto desde este punto de vista, los invariantes de Milnor son invariantes de tipo finito y, de hecho, ellos (y sus productos) son los únicos invariantes racionales de concordancia de tipo finito de los enlaces de cadena; ( Habegger y Masbaum 2000 ).
El número de invariantes de longitud de Milnor linealmente independientes para enlaces de componentes m es, dónde es el número de conmutadores básicos de longitud k en el álgebra de Lie libre en m generadores, a saber:
- ,
dónde es la función de Möbius ; ver por ejemplo ( Orr 1989 ). Este número crece en el orden de.
Aplicaciones
Los grupos de enlaces se pueden utilizar para clasificar enlaces Brunnian .
Ver también
- Grupo de nudos
- Homotopía regular
Referencias
- Cochran, Tim D. (1990), "Derivatives of links: Milnor's concordance invariants and Massey's Products", Memorias de la American Mathematical Society , American Mathematical Society, 427
- Habegger, Nathan; Lin, Xiao Song (1990), "La clasificación de los vínculos hasta la homotopía", Journal of the American Mathematical Society , 2, American Mathematical Society, 3 (2): 389–419, doi : 10.2307 / 1990959 , JSTOR 1990959
- Habegger, Nathan; Masbaum, Gregor (2000), "La integral de Kontsevich y los invariantes de Milnor", Topología , 39 (6): 1253-1289, doi : 10.1016 / S0040-9383 (99) 00041-5 , MR 1783857 , preimpresión .CS1 maint: posdata ( enlace )
- Milnor, John (marzo de 1954), "Grupos de enlace", Annals of Mathematics , Annals of Mathematics, 59 (2): 177-195, doi : 10.2307 / 1969685 , JSTOR 1969685 , MR 0071020
- Orr, Kent E. (1989), "Homotopy invariants of links", Inventiones Mathematicae , 95 (2): 379–394, doi : 10.1007 / BF01393902 , MR 0974908
- Porter, Richard D. (1980), "Milnor's μ -invariants and Massey products", Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 257 (1): 39–71, doi : 10.2307 / 1998124 , JSTOR 1998124 , MR 0549154
- Stallings, John R. (1965), "Homología y serie central de grupos", Journal of Algebra , 2 (2): 170–181, doi : 10.1016 / 0021-8693 (65) 90017-7 , MR 0175956
- Turaev, Vladimir G. (1976), "Los invariantes de Milnor y los productos de Massey", Zap. Naučn. Sem. Leningrado. Otdel. Estera. Inst. Steklov. (LOMI) , Estudios de topología-II, 66 : 189-203, MR 0451251