En lógica probabilística , las desigualdades de Fréchet , también conocidas como desigualdades de Boole-Fréchet , son reglas implícitas en el trabajo de George Boole [1] [2] y derivadas explícitamente por Maurice Fréchet [3] [4] que gobiernan la combinación de probabilidades sobre las proposiciones lógicas o eventos lógicamente unidos entre sí en conjunciones ( y operaciones) o disyunciones ( o operaciones) como en expresiones booleanas o de fallos o árboles de sucesos en comúnevaluaciones de riesgos , diseño de ingeniería e inteligencia artificial . Estas desigualdades pueden considerarse reglas sobre cómo acotar cálculos que involucran probabilidades sin asumir independencia o, de hecho, sin hacer ningún supuesto de dependencia . Las desigualdades de Fréchet están estrechamente relacionadas con las desigualdades de Boole-Bonferroni-Fréchet y con los límites de Fréchet .
Si A i son proposiciones lógicas o eventos , las desigualdades de Fréchet son
- Probabilidad de una conjunción lógica ( )
- Probabilidad de una disyunción lógica ( )
donde P () denota la probabilidad de un evento o proposición. En el caso de que solo haya dos eventos, digamos A y B , las desigualdades se reducen a
- Probabilidad de una conjunción lógica ( )
- Probabilidad de una disyunción lógica ( )
Las desigualdades limitaron las probabilidades de los dos tipos de eventos conjuntos dadas las probabilidades de los eventos individuales. Por ejemplo, si A es "tiene cáncer de pulmón" y B es "tiene mesotelioma", entonces A & B es "tiene cáncer de pulmón y mesotelioma", y A ∨ B es "tiene cáncer de pulmón o mesotelioma o ambas enfermedades", y las desigualdades relacionan los riesgos de estos eventos.
Tenga en cuenta que las conjunciones lógicas se indican de varias formas en diferentes campos, incluidos AND, &, ∧ y compuertas AND gráficas . Las disyunciones lógicas también se indican de varias formas, incluidas OR, |, ∨ y puertas OR gráficas . Si los eventos se toman como conjuntos en lugar de proposiciones lógicas , las versiones teóricas de conjuntos de las desigualdades de Fréchet son
- Probabilidad de una intersección de eventos
- Probabilidad de una unión de eventos
Ejemplos numéricos
Si la probabilidad de un evento A es P (A) = a = 0.7, y la probabilidad del evento B es P (B) = b = 0.8, entonces la probabilidad de la conjunción , es decir, el evento conjunto A y B, seguramente está en el intervalo
Asimismo, la probabilidad de la disyunción A ∨ B está seguramente en el intervalo
Estos intervalos se contrastan con los resultados obtenidos de las reglas de probabilidad asumiendo independencia , donde la probabilidad de la conjunción es P (A & B) = a × b = 0.7 × 0.8 = 0.56, y la probabilidad de la disyunción es P (A ∨ B) = a + b - a × b = 0,94.
Cuando las probabilidades marginales son muy pequeñas (o grandes), los intervalos de Fréchet son fuertemente asimétricos con respecto a los resultados análogos bajo independencia. Por ejemplo, suponga que P (A) = 0.000002 = 2 × 10 −6 y P (B) = 0.000003 = 3 × 10 −6 . Entonces, las desigualdades de Fréchet dicen que P (A & B) está en el intervalo [0, 2 × 10 −6 ], y P (A ∨ B) está en el intervalo [3 × 10 −6 , 5 × 10 −6 ]. Si A y B son independientes, sin embargo, la probabilidad de A & B es 6 × 10-12 que es, comparativamente, muy cerca del límite inferior (cero) del intervalo de Fréchet. De manera similar, la probabilidad de A ∨ B es 4.999994 × 10 −6 , que está muy cerca del límite superior del intervalo de Fréchet. Esto es lo que justifica la aproximación de eventos raros [5] que se usa a menudo en la teoría de la confiabilidad .
Pruebas
Las pruebas son elementales. Recuerde que P ( A ∨ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A & B ), lo que implica P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∨ B ) = P ( A & B ). Debido a que todas las probabilidades no son mayores que 1, sabemos que P ( A ∨ B ) ≤ 1, lo que implica que P ( A ) + P ( B ) - 1 ≤ P ( A & B ). Debido a que todas las probabilidades también son positivas, podemos decir de manera similar 0 ≤ P ( A & B ), entonces max (0, P ( A ) + P ( B ) - 1) ≤ P ( A & B ). Esto da el límite inferior de la conjunción.
Para obtener el límite superior, recuerde que P ( A & B ) = P ( A | B ) P ( B ) = P ( B | A ) P ( A ). Como P ( A | B ) ≤ 1 y P ( B | A ) ≤ 1, sabemos que P ( A & B ) ≤ P ( A ) y P ( A & B ) ≤ P ( B ). Por lo tanto, P ( A & B ) ≤ min (P ( A ), P ( B )), que es el límite superior.
La mejor naturaleza posible de estos límites se deriva de la observación de que se realizan mediante alguna dependencia entre los eventos A y B. Los límites comparables de la disyunción se derivan de manera similar.
Extensiones
Cuando las probabilidades de entrada son en sí mismas rangos de intervalo, las fórmulas de Fréchet aún funcionan como un análisis de límites de probabilidad . Hailperin [2] consideró el problema de evaluar expresiones booleanas probabilísticas que involucran muchos eventos en conjunciones y disyunciones complejas. Algunos [6] [7] han sugerido utilizar las desigualdades en varias aplicaciones de la inteligencia artificial y han ampliado las reglas para dar cuenta de varios supuestos sobre la dependencia entre los eventos. Las desigualdades también se pueden generalizar a otras operaciones lógicas, incluso modus ponens . [6] [8] Cuando las probabilidades de entrada se caracterizan por distribuciones de probabilidad , se pueden definir operaciones análogas que generalizan convoluciones lógicas y aritméticas sin suposiciones sobre la dependencia entre las entradas basándose en la noción relacionada de límites de Fréchet . [7] [9] [10]
Límites cuánticos de Fréchet
Es interesante que límites similares se cumplan también en la mecánica cuántica en el caso de sistemas cuánticos separables y que los estados entrelazados violan estos límites. [11] Considere un sistema cuántico compuesto. En particular, nos centramos en un sistema cuántico compuesto AB hecha por dos subsistemas finitos indicados como A y B . Suponga que conocemos la matriz de densidad del subsistema A , es decir, que es una matriz definida positiva de traza uno en (el espacio de matrices hermitianas de dimensión), y la matriz de densidad del subsistema B denotada como Podemos pensar en y como los marginales de los subsistemas A y B . A partir del conocimiento de estos marginales, queremos inferir algo sobre la articulación en Restringimos nuestra atención a las articulaciones que son separables . Una matriz de densidad en un sistema compuesto es separable si existen y que son estados mixtos de los respectivos subsistemas de manera que
dónde
De lo contrario se llama estado entrelazado.
Para matrices de densidad separables en Se mantienen los siguientes límites similares a Fréchet:
Las desigualdades son desigualdades matriciales ,denota el producto tensorial yla matriz de identidad de la dimensión. Es evidente que estructuralmente las desigualdades anteriores son análogas a los límites clásicos de Fréchet para la conjunción lógica. También vale la pena notar que cuando las matrices y están restringidos a ser diagonales, obtenemos los límites clásicos de Fréchet.
El límite superior se conoce en Mecánica Cuántica como criterio de reducción para matrices de densidad; fue probado por primera vez por [12] y formulado independientemente por. [13] El límite inferior se ha obtenido en [11] : Teorema A.16 que proporciona una interpretación bayesiana de estos límites.
Ejemplos numéricos
Hemos observado cuando las matrices y son todos diagonales, obtenemos los límites clásicos de Fréchet. Para mostrar eso, considere nuevamente el ejemplo numérico anterior:
entonces nosotros tenemos:
lo que significa:
Vale la pena señalar que los estados entrelazados violan los límites de Fréchet anteriores. Considere, por ejemplo, la matriz de densidad entrelazada (que no es separable):
que tiene marginal
Los estados entrelazados no son separables y se puede verificar fácilmente que
ya que las matrices resultantes tienen un valor propio negativo.
Otro ejemplo de violación de los límites probabilísticos lo proporciona la famosa desigualdad de Bell : los estados entrelazados exhiben una forma de dependencia estocástica más fuerte que la dependencia clásica más fuerte: y de hecho violan los límites de Fréchet.
Ver también
- Lógica probabilística
- Conjunción lógica
- Disyunción lógica
- Límites de Fréchet
- La desigualdad de Boole
- Desigualdades de Bonferroni
- Desigualdades de Bernstein-Fréchet
- Análisis de límites de probabilidad
- Probabilidad de la unión de eventos independientes por pares
Referencias
- ↑ Boole, G. (1854). Una investigación de las leyes del pensamiento, en las que se basan las teorías matemáticas de la lógica y la probabilidad. Walton y Maberly, Londres. Consulte los límites "mayores" y "menores" de una conjunción de Boole en la página 299.
- ↑ a b Hailperin, T. (1986). Lógica y probabilidad de Boole . Holanda Septentrional, Amsterdam.
- ^ Fréchet, M. (1935). Généralisations du théorème des probabilités totales. Fundamenta Mathematicae 25 : 379–387.
- ^ Fréchet, M. (1951). Sur les tableaux de corrélation dont les marges sont données. Annales de l'Université de Lyon. Sección A: Sciences mathématiques et astronomie 9 : 53–77.
- ^ Collet, J. (1996). Algunas observaciones sobre la aproximación de eventos raros. Transacciones IEEE sobre confiabilidad 45 : 106–108.
- ↑ a b Wise, BP y M. Henrion (1986). Un marco para comparar sistemas de inferencia inciertos con probabilidad. Incertidumbre en la inteligencia artificial , editado por LN Kanal y JF Lemmer, Elsevier Science Publishers, BV North-Holland, Amsterdam.
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- ^ Rüschendorf, L. (1991). Fréchet-límites y sus aplicaciones . Páginas 151–187 en Avances en distribuciones de probabilidad con márgenes dados, matemáticas y sus aplicaciones 67 , editado por G. Dall'Aglio, S. Kotz y G. Salinetti, Kluwer, Dordrecht.
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