En matemáticas aplicadas y análisis matemático , la derivada fractal o derivada de Hausdorff es una generalización no newtoniana de la derivada que se ocupa de la medición de fractales , definida en geometría fractal. Los derivados fractales se crearon para el estudio de la difusión anómala, mediante la cual los enfoques tradicionales no tienen en cuenta la naturaleza fractal de los medios. Una medida fractal t se escala de acuerdo con t α . Tal derivada es local, en contraste con la derivada fraccionaria aplicada de manera similar .
Antecedentes fisicos
Los medios porosos , los acuíferos , las turbulencias y otros medios suelen presentar propiedades fractales. Leyes de difusión o dispersión clásicos basados en paseos aleatorios en el espacio libre (esencialmente el mismo resultado de diversas maneras conocidas como leyes de Fick de la difusión , la ley de Darcy , y la ley de Fourier ) no son aplicables a los medios de comunicación fractales. Para abordar esto, conceptos como la distancia y la velocidad deben redefinirse para los medios fractales; en particular, las escalas de espacio y tiempo deben transformarse de acuerdo con ( x β , t α ). Los conceptos físicos elementales como la velocidad se redefinen de la siguiente manera para el espacio-tiempo fractal ( x β , t α ):
- ,
donde S α, β representa el espacio-tiempo fractal con índices de escala α y β . La definición tradicional de velocidad no tiene sentido en el espacio-tiempo fractal no diferenciable.
Definición
Con base en la discusión anterior, el concepto de la derivada fractal de una función u ( t ) con respecto a una medida fractal t se ha introducido de la siguiente manera:
- ,
Una definición más general viene dada por
- .
Motivación
Las derivadas de una función f se pueden definir en términos de los coeficientes a k en la expansión de la serie de Taylor :
De este enfoque se puede obtener directamente:
Esto se puede generalizar aproximando f con funciones (x α - (x 0 ) α ) k :
nota: el coeficiente de orden más bajo todavía tiene que ser b 0 = f (x 0 ), ya que sigue siendo la aproximación constante de la función f en x 0 .
De nuevo se puede obtener directamente:
Propiedades
Coeficientes de expansión
Al igual que en la expansión de la serie de Taylor, los coeficientes b k se pueden expresar en términos de las derivadas fractales de orden k de f:
Prueba de idea: asumiendo existe, b k se puede escribir como
uno ahora puede usar y desde
Conexión con derivada
Si para una función dada f existen tanto la derivada Df como la derivada fractal D α f, se puede encontrar un análogo a la regla de la cadena:
El último paso está motivado por el teorema de la función implícita que, en condiciones apropiadas, nos da dx / dx α = (dx α / dx) −1
De manera similar para la definición más general:
Aplicación en difusión anómala
Como un enfoque de modelado alternativo a la segunda ley de Fick clásica, la derivada fractal se utiliza para derivar una ecuación de transporte-difusión anómala lineal subyacente al proceso de difusión anómala ,
donde 0 < α <2, 0 < β <1 y δ ( x ) es la función delta de Dirac .
Para obtener la solución fundamental , aplicamos la transformación de variables
entonces la ecuación (1) se convierte en la ecuación de forma de difusión normal, la solución de (1) tiene la forma gaussiana estirada :
El desplazamiento cuadrático medio de la ecuación de difusión de derivada fractal anterior tiene la asíntota :
Cálculo fractal-fraccional
La derivada fractal está conectada a la derivada clásica si existe la primera derivada de la función bajo investigación. En este caso,
- .
Sin embargo, debido a la propiedad de diferenciabilidad de una integral, las derivadas fraccionarias son diferenciables, por lo que se introdujo el siguiente concepto nuevo
Los siguientes operadores diferenciales se introdujeron y aplicaron muy recientemente. [1] Suponiendo que y (t) sea continuo y fractal diferenciable en (a, b) con orden β , varias definiciones de una derivada fractal-fraccional de y (t) se cumplen con orden α en el sentido de Riemann-Liouville: [1 ]
- Tener kernel de tipo ley de potencia:
- Tener kernel de tipo en descomposición exponencial:
,
- Tener kernel de tipo Mittag-Leffler generalizado:
Los operadores diferenciales anteriores tienen cada uno un operador integral fractal-fraccional asociado, de la siguiente manera: [1]
- Núcleo de tipo de ley de potencia:
- Núcleo de tipo en descomposición exponencial:
.
- Núcleo de tipo Mittag-Leffler generalizado:
. FFM se refiere a fractal-fraccional con el kernel de Mittag-Leffler generalizado.
Ver también
Referencias
- ^ a b c Atangana, Abdón; Sania, Qureshi (2019). "Modelado de atractores de sistemas dinámicos caóticos con operadores fractal-fraccionales". Caos, solitones y fractales . 123 : 320–337. Código bibliográfico : 2019CSF ... 123..320A . doi : 10.1016 / j.chaos.2019.04.020 .
- Chen, W. (2006). "Tejido espacio-temporal subyacente a la difusión anómala". Caos, solitones y fractales . 28 (4): 923–929. arXiv : matemáticas-ph / 0505023 . Código bibliográfico : 2006CSF .... 28..923C . doi : 10.1016 / j.chaos.2005.08.199 . S2CID 18369880 .
- Kanno, R. (1998). "Representación de un paseo aleatorio en el espacio-tiempo fractal". Un Physica . 248 (1–2): 165–175. Código Bibliográfico : 1998PhyA..248..165K . doi : 10.1016 / S0378-4371 (97) 00422-6 .
- Chen, W .; Sol, HG; Zhang, X .; Korosak, D. (2010). "Modelado de difusión anómala por derivadas fractales y fraccionales". Computación y Matemáticas con Aplicaciones . 59 (5): 1754–8. doi : 10.1016 / j.camwa.2009.08.020 .
- Sol, HG; Meerschaert, MM; Zhang, Y .; Zhu, J .; Chen, W. (2013). "Una ecuación fractal de Richards para capturar la escala no Boltzmann del transporte de agua en medios insaturados" . Avances en los recursos hídricos . 52 (52): 292–5. Código bibliográfico : 2013AdWR ... 52..292S . doi : 10.1016 / j.advwatres.2012.11.005 . PMC 3686513 . PMID 23794783 .
- Cushman, JH; O'Malley, D .; Park, M. (2009). "Difusión anómala según el modelo de una extensión no estacionaria del movimiento browniano". Phys. Rev. E . 79 (3): 032101. Código Bibliográfico : 2009PhRvE..79c2101C . doi : 10.1103 / PhysRevE.79.032101 . PMID 19391995 .
- Mainardi, F .; Mura, A .; Pagnini, G. (2010). "La función de M-Wright en procesos de difusión fraccional en el tiempo: una encuesta tutorial". Revista Internacional de Ecuaciones Diferenciales . 2010 : 104505. arXiv : 1004.2950 . Código Bibliográfico : 2010arXiv1004.2950M . doi : 10.1155 / 2010/104505 . S2CID 37271918 .
enlaces externos
- Ley de potencia y dinámica fraccional
- Sitio web de cálculo no newtoniano