En matemáticas , los teoremas de Fredholm son un conjunto de resultados celebrados de Ivar Fredholm en la teoría de ecuaciones integrales de Fredholm . Hay varios teoremas estrechamente relacionados, que pueden enunciarse en términos de ecuaciones integrales, en términos de álgebra lineal o en términos del operador de Fredholm en espacios de Banach .
La alternativa de Fredholm es uno de los teoremas de Fredholm.
Álgebra lineal
El teorema de Fredholm en álgebra lineal es el siguiente: si M es una matriz , entonces el complemento ortogonal del espacio de filas de M es el espacio nulo de M :
De manera similar, el complemento ortogonal del espacio columna de M es el espacio nulo del adjunto:
Ecuaciones integrales
El teorema de Fredholm para ecuaciones integrales se expresa de la siguiente manera. Dejarser un núcleo integral y considerar las ecuaciones homogéneas
y su complejo adjunto
Aquí, denota el complejo conjugado del número complejo , y de manera similar para . Entonces, el teorema de Fredholm es que, para cualquier valor fijo de, estas ecuaciones tienen la solución trivial o tener el mismo número de soluciones linealmente independientes, .
Una condición suficiente para que este teorema se mantenga es que ser cuadrado integrable en el rectángulo(donde a y / o b pueden ser menos o más infinito).
Aquí, la integral se expresa como una integral unidimensional en la recta numérica real. En la teoría de Fredholm , este resultado se generaliza a operadores integrales en espacios multidimensionales, incluyendo, por ejemplo, variedades de Riemann .
Existencia de soluciones
Uno de los teoremas de Fredholm, estrechamente relacionado con la alternativa de Fredholm , se refiere a la existencia de soluciones a la ecuación no homogénea de Fredholm
Existen soluciones a esta ecuación si y solo si la función es ortogonal al conjunto completo de soluciones de la correspondiente ecuación adjunta homogénea:
dónde es el complejo conjugado de y el primero es uno del conjunto completo de soluciones para
Una condición suficiente para que este teorema se mantenga es que ser cuadrado integrable en el rectángulo.
Referencias
- EI Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math. , 27 (1903) págs. 365–390.
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Fredholm" . MathWorld .
- BV Khvedelidze (2001) [1994], "Teoremas de Fredholm" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press