En matemáticas , la alternativa de Fredholm , que lleva el nombre de Ivar Fredholm , es uno de los teoremas de Fredholm y es un resultado de la teoría de Fredholm . Puede expresarse de varias formas, como un teorema de álgebra lineal , un teorema de ecuaciones integrales o como un teorema de los operadores de Fredholm . Parte del resultado indica que un número complejo distinto de cero en el espectro de un operador compacto es un valor propio.
Álgebra lineal
Si V es un espacio vectorial n- dimensional yes una transformación lineal , entonces se cumple exactamente una de las siguientes:
- Para cada vector v en V hay un vector u en V de modo que. En otras palabras: T es sobreyectiva (y por tanto también biyectiva, ya que V es de dimensión finita).
Una formulación más elemental, en términos de matrices, es la siguiente. Dada una matriz A de m × n y un vector de columna b de m × 1 , debe cumplirse exactamente uno de los siguientes:
- O bien: A x = b tiene una solución x
- O: A T y = 0 tiene una solución y con y T b ≠ 0.
En otras palabras, A x = b tiene una soluciónsi y solo si para cualquier y st A T y = 0, y T b = 0.
Ecuaciones integrales
Dejar ser un núcleo integral , y considerar la ecuación homogénea , la ecuación integral de Fredholm ,
y la ecuación no homogénea
La alternativa de Fredholm es la afirmación de que, para cada número complejo fijo distinto de cero , o la primera ecuación tiene una solución no trivial, o la segunda ecuación tiene una solución para todos .
Una condición suficiente para que esta afirmación sea cierta es que ser cuadrado integrable en el rectángulo(donde a y / o b pueden ser menos o más infinito). El operador integral definido por tal K se llama operador integral de Hilbert-Schmidt .
Análisis funcional
Los resultados del operador de Fredholm generalizan estos resultados a espacios vectoriales de dimensiones infinitas, espacios de Banach .
La ecuación integral se puede reformular en términos de notación de operador de la siguiente manera. Escribir (algo informal)
significar
con la función delta de Dirac , considerada como una distribución , o función generalizada , en dos variables. Luego, por convolución , T induce un operador lineal que actúa sobre un espacio de Banach V de funciones, que también llamamos T , de modo que
es dado por
con dada por
En este lenguaje, la alternativa de Fredholm para ecuaciones integrales se considera análoga a la alternativa de Fredholm para álgebra lineal de dimensión finita.
El operador K dado por convolución con un núcleo L 2 , como antes, se conoce como operador integral de Hilbert-Schmidt . Estos operadores son siempre compactos . De manera más general, la alternativa de Fredholm es válida cuando K es cualquier operador compacto. La alternativa de Fredholm puede reformularse de la siguiente forma: un valor distinto de ceroo es un valor propio de K , o se encuentra en el dominio del resolutivo
Ecuaciones diferenciales parciales elípticas
La alternativa de Fredholm se puede aplicar para resolver problemas de valores de contorno elípticos lineales . El resultado básico es: si la ecuación y los espacios de Banach apropiados se han configurado correctamente, entonces
- (1) La ecuación homogénea tiene una solución no trivial, o
- (2) La ecuación no homogénea se puede resolver de forma única para cada elección de datos.
El argumento es el siguiente. Un operador elíptico típico de fácil comprensión L sería el laplaciano más algunos términos de orden inferior. Combinado con condiciones de contorno adecuadas y expresado en un espacio de Banach adecuado X (que codifica tanto las condiciones de contorno como la regularidad deseada de la solución), L se convierte en un operador ilimitado de X a sí mismo, y uno intenta resolver
donde f ∈ X es alguna función que sirve como datos para los que queremos una solución. La alternativa de Fredholm, junto con la teoría de ecuaciones elípticas, nos permitirá organizar las soluciones de esta ecuación.
Un ejemplo concreto sería un problema de valor de frontera elíptico como
complementado con la condición de contorno
donde Ω ⊆ R n es un conjunto abierto acotado con límite suave y h ( x ) es una función de coeficiente fijo (un potencial, en el caso de un operador de Schrödinger). La función f ∈ X son los datos variables para los que deseamos resolver la ecuación. Aquí uno tomaría X como el espacio L 2 (Ω) de todas las funciones cuadradas integrables en Ω, y dom ( L ) es entonces el espacio de Sobolev W 2,2 (Ω) ∩ W1,2
0(Ω), que equivale al conjunto de todas las funciones integrables al cuadrado en Ω cuyas derivadas primera y segunda débiles existen y son integrables al cuadrado, y que satisfacen una condición de frontera cero en ∂Ω.
Si X se ha seleccionado correctamente (como lo ha hecho en este ejemplo), entonces para μ 0 >> 0 el operador L + μ 0 es positivo , y luego empleando estimaciones elípticas , se puede probar que L + μ 0 : dom ( L ) → X es una biyección, y su inverso es un operador compacto, definido en todas partes K de X a X , con imagen igual a dom ( L ). Arreglamos uno de esos μ 0 , pero su valor no es importante ya que es solo una herramienta.
Entonces podemos transformar la alternativa de Fredholm, establecida anteriormente para operadores compactos, en un enunciado sobre la capacidad de solución del problema de valores en la frontera (*) - (**). La alternativa de Fredholm, como se indicó anteriormente, afirma:
- Para cada λ ∈ R , λ es un valor propio de K , o el operador K - λ es biyectivo de X a sí mismo.
Exploremos las dos alternativas a medida que se desarrollan para el problema del valor en la frontera. Suponga que λ ≠ 0. Entonces
(A) λ es un valor propio de K ⇔ hay una solución h dom ∈ ( L ) de ( L + μ 0 ) h = λ -1 h ⇔ - μ 0 + λ -1 es un valor propio de L .
(B) El operador K - λ : X → X es una biyección ⇔ ( K - λ ) ( L + μ 0 ) = Id - λ ( L + μ 0 ): dom ( L ) → X es una biyección ⇔ L + μ 0 - λ −1 : dom ( L ) → X es una biyección.
Reemplazando - μ 0 + λ −1 por λ , y tratando el caso λ = - μ 0 por separado, se obtiene la siguiente alternativa de Fredholm para un problema de valor en la frontera elíptica:
- Para cada λ ∈ R , la ecuación homogénea ( L - λ ) u = 0 tiene una solución no trivial, o la ecuación no homogénea ( L - λ ) u = f posee una solución única u ∈ dom ( L ) para cada dato f dado ∈ X .
La última función u resuelve el problema del valor en la frontera (*) - (**) presentado anteriormente. Esta es la dicotomía que se afirmó en (1) - (2) arriba. Mediante el teorema espectral para operadores compactos, también se obtiene que el conjunto de λ para el que falla la solubilidad es un subconjunto discreto de R (los valores propios de L ). Las funciones propias asociadas a los valores propios se pueden considerar como "resonancias" que bloquean la solubilidad de la ecuación.
Ver también
Referencias
- Fredholm, EI (1903). "Sur une classe d'equations fonctionnelles" . Acta Math . 27 : 365–390. doi : 10.1007 / bf02421317 .
- AG Ramm, " Una prueba simple de la alternativa de Fredholm y una caracterización de los operadores de Fredholm ", American Mathematical Monthly , 108 (2001) p. 855.
- Khvedelidze, BV (2001) [1994], "Teoremas de Fredholm para ecuaciones integrales" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Weisstein, Eric W. "Alternativa de Fredholm" . MathWorld .