celosía libre
En matemáticas , en el área de la teoría del orden , un retículo libre es el objeto libre correspondiente a un retículo . Como objetos libres, tienen la propiedad universal .
Se puede usar cualquier conjunto X para generar el FX de semiretícula libre . La semired libre se define como compuesta por todos los subconjuntos finitos de X , con la operación de semiredes dada por la unión ordinaria de conjuntos . La semired libre tiene la propiedad universal . El morfismo universal es ( FX , η ) , donde η es el mapa unitario η: X → FX que lleva x ∈ X al conjunto singleton { x }. La propiedad universal es entonces como sigue: dado cualquier mapaf : X → L de X a algún semirretículo arbitrario L , existe un homomorfismo de semirretículo único tal que . El mapa puede estar escrito explícitamente; está dado por
donde denota la operación de semirretículo en L . Esta construcción puede promoverse de semiretículas a celosías [ aclaración necesaria ] ; por construcción, el mapa tendrá las mismas propiedades que la red.
La construcción X ↦ FX es entonces un funtor de la categoría de conjuntos a la categoría de redes. El funtor F se deja adjunto al funtor olvidadizo desde las redes hasta sus conjuntos subyacentes. La red libre es un objeto libre .
El problema verbal para retículas libres y retículas acotadas libres es decidible usando una relación inductiva. La solución tiene varios corolarios interesantes. Una es que la red libre de un conjunto de generadores de tres elementos es infinita. De hecho, incluso se puede demostrar que cada red libre en tres generadores contiene una subred que está libre para un conjunto de cuatro generadores. Por inducción , esto eventualmente produce una subred libre en muchos generadores contables . [1] Esta propiedad recuerda a SQ-universalidad en grupos .
donde x , y y z son los tres generadores y p 0 = x . Luego se muestra, usando las relaciones inductivas del problema verbal, que p n +1 es estrictamente mayor [2] que p n , y por lo tanto todas las infinitas palabras p n se evalúan con diferentes valores en la red libre FX .