En álgebra lineal , la forma normal Frobenius o forma canónica racional de una matriz cuadrada A con entradas en un campo F es una forma canónica para matrices obtenidas por conjugación por matrices invertibles más de F . La forma refleja una descomposición mínima del espacio vectorial en subespacios que son cíclicos para A (es decir, abarcados por algún vector y sus imágenes repetidas en A ). Dado que solo se puede alcanzar una forma normal a partir de una matriz dada (de ahí la "canónica"), una matriz B es similar a Asi y sólo si tiene la misma forma canónica racional como A . Dado que esta forma se puede encontrar sin operaciones que puedan cambiar al extender el campo F (de ahí el "racional"), notablemente sin factorizar polinomios, esto muestra que si dos matrices son similares no cambia con las extensiones de campo. La forma lleva el nombre del matemático alemán Ferdinand Georg Frobenius .
Algunos autores usan el término forma canónica racional para una forma algo diferente que se llama más propiamente la forma canónica racional primaria . En lugar de descomponerse en un número mínimo de subespacios cíclicos, la forma primaria se descompone en un número máximo de subespacios cíclicos. También se define más de F , pero tiene propiedades algo diferentes: la búsqueda de la forma requiere factorización de polinomios , y como consecuencia la forma canónica racional primaria puede cambiar cuando la misma matriz se considera más de un campo de extensión de F . Este artículo trata principalmente de la forma que no requiere factorización, y menciona explícitamente "primaria" cuando se refiere a la forma que usa factorización.
Motivación
Al tratar de averiguar si dos matrices cuadradas A y B son similares, un enfoque es intentar, para cada una de ellas, descomponer el espacio vectorial en la medida de lo posible en una suma directa de subespacios estables y comparar las acciones respectivas en estos subespacios. Por ejemplo, si ambos son diagonalizables, entonces se puede tomar la descomposición en espacios propios (para los cuales la acción es lo más simple posible, es decir, mediante un escalar), y luego se puede decidir la similitud comparando los valores propios y sus multiplicidades. Si bien en la práctica este es a menudo un enfoque bastante perspicaz, existen varios inconvenientes que tiene como método general. Primero, requiere encontrar todos los valores propios, digamos como raíces del polinomio característico, pero puede que no sea posible dar una expresión explícita para ellos. En segundo lugar, es posible que exista un conjunto completo de valores propios solo en una extensión del campo sobre el que se está trabajando, y luego no se obtiene una prueba de similitud con el campo original. Finalmente, A y B podrían no ser diagonalizables incluso sobre este campo más grande, en cuyo caso, en su lugar, se debe usar una descomposición en espacios propios generalizados y posiblemente en bloques de Jordan.
Pero obtener una descomposición tan fina no es necesario para decidir simplemente si dos matrices son similares. La forma canónica racional se basa en su lugar en el uso de una descomposición de suma directa en subespacios estables que son lo más grandes posible, sin dejar de permitir una descripción muy simple de la acción en cada uno de ellos. Estos subespacios deben ser generados por un único vector v distinto de cero y todas sus imágenes mediante la aplicación repetida del operador lineal asociado a la matriz; dichos subespacios se denominan subespacios cíclicos (por analogía con los subgrupos cíclicos) y son claramente estables bajo el operador lineal. Una base de tal subespacio se obtiene tomando vy sus imágenes sucesivas siempre que sean linealmente independientes. La matriz del operador lineal con respecto a tal base es la matriz compañera de un polinomio monico; este polinomio (el polinomio mínimo del operador restringido al subespacio, cuya noción es análoga a la del orden de un subgrupo cíclico) determina la acción del operador sobre el subespacio cíclico hasta el isomorfismo, y es independiente de la elección del vector v generando el subespacio.
Siempre existe una descomposición de suma directa en subespacios cíclicos, y encontrar una no requiere factorizar polinomios. Sin embargo, es posible que los subespacios cíclicos permitan una descomposición como suma directa de subespacios cíclicos más pequeños (esencialmente por el teorema del resto chino ). Por tanto, tener para ambas matrices alguna descomposición del espacio en subespacios cíclicos, y conocer los polinomios mínimos correspondientes, no es en sí mismo suficiente para decidir su similitud. Se impone una condición adicional para asegurar que para matrices similares uno obtenga descomposiciones en subespacios cíclicos que coincidan exactamente: en la lista de polinomios mínimos asociados cada uno debe dividir al siguiente (y el polinomio constante 1 está prohibido para excluir subespacios cíclicos triviales de dimensión 0 ). La lista resultante de polinomios se denomina factores invariantes de (el módulo K [ X ] definido por) la matriz, y dos matrices son similares si y solo si tienen listas idénticas de factores invariantes. La forma canónica racional de una matriz A se obtiene expresándola sobre una base adaptada a una descomposición en subespacios cíclicos cuyos polinomios mínimos asociados son los factores invariantes de A ; dos matrices son similares si y solo si tienen la misma forma canónica racional.
Ejemplo
Considere la siguiente matriz A, sobre Q :
A tiene polinomio mínimo , de modo que la dimensión de un subespacio generado por las imágenes repetidas de un solo vector sea como máximo 6. El polinomio característico es, que es un múltiplo del polinomio mínimo por un factor . Siempre existen vectores tales que el subespacio cíclico que generan tiene el mismo polinomio mínimo que tiene el operador en todo el espacio; de hecho, la mayoría de los vectores tendrán esta propiedad, y en este caso el primer vector base estándar lo hace: los vectores por son linealmente independientes y abarcan un subespacio cíclico con polinomio mínimo . Existen subespacios estables complementarios (de dimensión 2) a este subespacio cíclico, y el espacio generado por vectores y es un ejemplo. De hecho uno tiene, por lo que el subespacio complementario es un subespacio cíclico generado por ; tiene polinomio mínimo. Desde es el polinomio mínimo de todo el espacio, está claro que debe dividir (y se comprueba fácilmente que sí), y hemos encontrado los factores invariantes y de A . Entonces, la forma canónica racional de A es la matriz diagonal de bloques con las matrices complementarias correspondientes como bloques diagonales, a saber
Una base sobre la cual se alcanza esta forma está formada por los vectores arriba, seguido de por ; explícitamente esto significa que para
- ,
uno tiene
Caso y teoría general
Fijar un campo de base F y una finita dimensional espacio vectorial V sobre F . Dado un polinomio P ∈ F [ X ], se le asocia una matriz compañera C P cuyo polinomio característico y polinomio mínimo son ambos iguales a P ).
Teorema : Let V ser un espacio de dimensión finita vector sobre un campo F , y A una matriz cuadrada sobre F . Entonces V (visto como un módulo F [ X ] - con la acción de X dada por A ) admite un isomorfismo del módulo F [ X ]
- V ≅ F [ x ] / f 1 ⊕… ⊕ F [ X ] / f k
donde f i ∈ F [ X ] puede tomarse como polinomios monicos de grado positivo (por lo que no son unidades en F [ X ]) que satisfacen las relaciones
- f 1 | f 2 | … | f k
donde "a | b" es la notación para " a divide b "; con estas condiciones, la lista de polinomios f i es única.
Bosquejo de la prueba : aplique el teorema de la estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal a V , viéndolo como un módulo F [ X ]. El teorema de la estructura proporciona una descomposición en factores cíclicos, cada uno de los cuales es un cociente de F [ X ] por un ideal propio; el ideal cero no puede estar presente ya que el módulo libre resultante sería de dimensión infinita como el espacio vectorial F , mientras que V es de dimensión finita. Para los polinomios f i, se toman los generadores monicos únicos de los respectivos ideales, y dado que el teorema de la estructura asegura la contención de cada ideal en el ideal anterior, se obtienen las condiciones de divisibilidad para f i . Consulte [DF] para obtener más detalles.
Dada una matriz cuadrada arbitraria, los divisores elementales usados en la construcción de la forma normal de Jordan no existen sobre F [ X ], por lo que los factores invariantes f i como se indica arriba deben usarse en su lugar. El último de estos factores f k es entonces polinomio mínimo, que por lo tanto todos los factores invariantes dividen, y el producto de los factores invariantes da el polinomio característico. Tenga en cuenta que esto implica que el polinomio mínimo divide el polinomio característico (que es esencialmente el teorema de Cayley-Hamilton ), y que cada factor irreducible del polinomio característico también divide el polinomio mínimo (posiblemente con menor multiplicidad).
Para cada factor invariante f i uno toma su matriz compañera C f i , y la matriz diagonal por bloques de formado a partir de estos bloques se obtiene la forma canónica racional de A . Cuando el polinomio mínimo es idéntico al polinomio característico (el caso k = 1), la forma normal de Frobenius es la matriz acompañante del polinomio característico. Como la forma canónica racional está determinada únicamente por los factores invariantes únicos asociados a A , y estos factores invariantes son independientes de la base , se deduce que dos matrices cuadradas A y B son similares si y solo si tienen la misma forma canónica racional.
Una forma normal racional que generaliza la forma normal de Jordan
La forma normal de Frobenius no refleja ningún tipo de factorización del polinomio característico, incluso si es que existe sobre el campo de tierra F . Esto implica que es invariante cuando F se reemplaza por un campo diferente (siempre que contenga las entradas de la matriz original A ). Por otro lado, esto hace que la forma normal de Frobenius sea bastante diferente de otras formas normales que dependen de factorizar el polinomio característico, notablemente la forma diagonal (si A es diagonalizable) o más generalmente la forma normal de Jordan (si el polinomio característico se divide en factores lineales). Por ejemplo, la forma normal de Frobenius de una matriz diagonal con distintas entradas diagonales es solo la matriz compañera de su polinomio característico.
Hay otra forma de definir una forma normal, que, como la forma normal de Frobenius, siempre se define sobre el mismo campo F que A , pero que refleja una posible factorización del polinomio característico (o equivalentemente el polinomio mínimo) en factores irreductibles. sobre F , y que se reduce a la forma normal de Jordan cuando esta factorización solo contiene factores lineales (correspondientes a valores propios ). Esta forma [1] a veces se denomina forma normal de Jordan generalizada o forma canónica racional primaria . Se basa en el hecho de que el espacio vectorial puede descomponerse canónicamente en una suma directa de subespacios estables correspondientes a los distintos factores irreductibles P del polinomio característico (como se indica en el lemme des noyaux [2] ), donde el El polinomio característico de cada sumando es una potencia de la P correspondiente . Estos sumandos se pueden descomponer aún más, de forma no canónica, como una suma directa de módulos F [ x ] cíclicos (como se hace para la forma normal de Frobenius anterior), donde el polinomio característico de cada sumando sigue siendo una potencia (generalmente más pequeña) de P . La forma canónica racional primaria es una matriz diagonal de bloques correspondiente a dicha descomposición en módulos cíclicos, con una forma particular llamada bloque de Jordan generalizado en los bloques diagonales, correspondiente a una elección particular de una base para los módulos cíclicos. Este bloque de Jordan generalizado es en sí mismo una matriz de bloques de la forma
donde C es la matriz compañera del polinomio irreducible P , y U es una matriz cuya única entrada distinta de cero es un 1 en la esquina superior derecha. Para el caso de un factor lineal irreducible P = x - λ , estos bloques se reducen a entradas simples C = λ y U = 1 y se encuentra un bloque de Jordan (transpuesto) . En cualquier bloque de Jordan generalizado, todas las entradas inmediatamente debajo de la diagonal principal son 1. Una base del módulo cíclico que da lugar a esta forma se obtiene eligiendo un vector generador v (uno que no sea aniquilado por P k −1 ( A ) donde el polinomio mínimo del módulo cíclico es P k ), y tomando como base
donde d = grados ( P ) .
Ver también
Referencias
- [DF] David S. Dummit y Richard M. Foote. Álgebra abstracta . Segunda edición, John Wiley & Sons. págs. 442, 446, 452-458. ISBN 0-471-36857-1 .