En matemáticas , un modelo fucsiano es una representación de una superficie Riemann hiperbólica R como un cociente del semiplano superior H por un grupo fucsiano . Toda superficie hiperbólica de Riemann admite tal representación. El concepto lleva el nombre de Lazarus Fuchs .
Una definición más precisa
Según el teorema de la uniformización , cada superficie de Riemann es elíptica , parabólica o hiperbólica . Más precisamente, este teorema establece que una superficie de Riemannque no es isomorfo ni a la esfera de Riemann (el caso elíptico) ni a un cociente del plano complejo por un subgrupo discreto (el caso parabólico) debe ser un cociente del plano hiperbólico por un subgrupo actuando correctamente de forma discontinua y libre .
En el modelo de semiplano de Poincaré para el plano hiperbólico, el grupo de transformaciones biholomórficas es el grupoactuando por homografías , y el teorema de uniformización significa que existe un subgrupo discreto , libre de torsión tal que la superficie de Riemann es isomorfo a . Tal grupo se llama grupo fucsiano, y el isomorfismo se llama modelo fucsiano para .
Modelos fucsianos y espacio Teichmüller
Dejar ser una superficie hiperbólica cerrada y dejar ser un grupo fucsiano para que es un modelo fucsiano para . Dejar
y dotar a este conjunto de la topología de convergencia puntual (a veces denominada "convergencia algebraica"). En este caso particular, esta topología se puede definir más fácilmente de la siguiente manera: el grupose genera finitamente ya que es isomorfo al grupo fundamental de. Dejar ser un grupo electrógeno: entonces cualquier está determinada por los elementos y así podemos identificar con un subconjunto de por el mapa . Luego le damos la topología del subespacio.
El teorema del isomorfismo de Nielsen (esta no es una terminología estándar y este resultado no está directamente relacionado con el teorema de Dehn-Nielsen ) tiene la siguiente declaración:
- Para cualquier existe un auto- homeomorfismo (de hecho, un mapa cuasiconformal ) del semiplano superior tal que para todos .
La prueba es muy simple: elige un homeomorfismo y levántelo al plano hiperbólico. Al tomar un difeomorfismo se obtiene un mapa cuasi-conforme, ya que es compacto.
Este resultado puede verse como la equivalencia entre dos modelos para el espacio de Teichmüller de: el conjunto de representaciones discretas fieles del grupo fundamental dentro conjugación de módulo y el conjunto de superficies de Riemann marcadas dónde es un homeomorfismo cuasiconformal módulo una relación de equivalencia natural.
Referencias
Matsuzaki, K .; Taniguchi, M .: Variedades hiperbólicas y grupos kleinianos. Oxford (1998).
Ver también
- el modelo kleiniano , una construcción análoga para 3 colectores
- Polígono fundamental