Teorema fundamental de la aritmética
En matemáticas , el teorema fundamental de la aritmética , también llamado teorema de factorización única y teorema de factorización prima , establece que todo número entero mayor que 1 puede representarse únicamente como un producto de números primos , hasta el orden de los factores. [3] [4] [5] Por ejemplo,
El teorema dice dos cosas sobre este ejemplo: primero, que 1200 se puede representar como un producto de números primos, y segundo, que no importa cómo se haga, siempre habrá exactamente cuatro 2, un 3, dos 5 y ningún otro. primos en el producto.
El requisito de que los factores sean primos es necesario: las factorizaciones que contienen números compuestos pueden no ser únicas (por ejemplo, ).
Este teorema es una de las principales razones por las que el 1 no se considera un número primo : si el 1 fuera primo, la factorización en números primos no sería única; Por ejemplo,
El teorema se generaliza a otras estructuras algebraicas que se denominan dominios de factorización única e incluyen dominios ideales principales , dominios euclidianos y anillos polinómicos sobre un campo . Sin embargo, el teorema no se cumple para enteros algebraicos . [6] Esta falla en la factorización única es una de las razones de la dificultad de la demostración del último teorema de Fermat . El uso implícito de la factorización única en anillos de enteros algebraicos está detrás del error de muchas de las numerosas demostraciones falsas que se han escrito durante los 358 años entre el enunciado de Fermat yLa demostración de Wiles .
El teorema fundamental puede derivarse del Libro VII, proposiciones 30, 31 y 32, y del Libro IX, proposición 14 de los Elementos de Euclides .
