Representación fundamental

En la teoría de la representación de grupos de Lie y álgebras de Lie , una representación fundamental es una representación irreducible de dimensión finita de un grupo de Lie semisimple o álgebra de Lie cuyo peso más alto es un peso fundamental . Por ejemplo, el módulo de definición de un grupo de Lie clásico es una representación fundamental. Cualquier representación irreductible de dimensión finita de un grupo de Lie semisimple o álgebra de Lie se puede construir a partir de las representaciones fundamentales mediante un procedimiento debido a Élie Cartan. Así, en cierto sentido, las representaciones fundamentales son los bloques de construcción elementales para representaciones arbitrarias de dimensión finita.

Ejemplos

• En el caso del grupo lineal general , todas las representaciones fundamentales son productos externos del módulo de definición.
• En el caso del grupo unitario especial SU ( n ) , las n  - 1 representaciones fundamentales son los productos de la cuña que consisten en los tensores alternos , para k  = 1, 2, ...,  n  - 1.${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{k}\ {\mathbb {C} }^{n}}$
• La representación de espín de la cubierta doble de un grupo ortogonal impar , el grupo de espín impar y las dos representaciones de medio espín de la cubierta doble de un grupo ortogonal par, el grupo de espinor par, son representaciones fundamentales que no se pueden realizar en el espacio. de tensores.
• La representación adjunta del grupo de Lie simple de tipo E ₈ es una representación fundamental.

Explicación

Las representaciones irreductibles de un grupo de Lie compacto simplemente conectado están indexadas por sus pesos más altos . Estos pesos son los puntos de la red en un Q ₊ ortopédico en la red de pesos del grupo de Lie que consta de los pesos integrales dominantes. Se puede demostrar que existe un conjunto de pesos fundamentales , indexados por los vértices del diagrama de Dynkin , de manera que cualquier peso integral dominante es una combinación lineal entera no negativa de los pesos fundamentales. ^[1] Las representaciones irreductibles correspondientes son las representaciones fundamentales del grupo Lie. A partir de la expansión de un peso dominante en términos de los pesos fundamentales, se puede tomar un producto tensorial correspondiente de las representaciones fundamentales y extraer una copia de la representación irreductible correspondiente a ese peso dominante. ^[2]

Otros usos

Fuera de la teoría de Lie, el término representación fundamental a veces se usa de manera vaga para referirse a una representación fiel de dimensión más pequeña, aunque a menudo también se le llama representación estándar o definitoria (un término que se refiere más a la historia, en lugar de tener una representación bien definida significado matemático).

Referencias

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor  1153249 . OCLC  246650103 .
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5.

Específico

1. Salón 2015 Proposición 8.35
2. Hall 2015 Ver la prueba de la Proposición 6.17 en el caso de SU (3)