En matemáticas , las representaciones de espín son representaciones proyectivas particulares de los grupos ortogonales o ortogonales especiales en dimensión y firma arbitrarias (es decir, incluidos grupos ortogonales indefinidos ). Más precisamente, son representaciones de los grupos de espín , que son cubiertas dobles de los grupos ortogonales especiales. Suelen estudiarse sobre números reales o complejos , pero se pueden definir sobre otros campos .
Los elementos de una representación de espín se denominan espinores . Desempeñan un papel importante en la descripción física de fermiones como el electrón .
Las representaciones de espín pueden construirse de varias formas, pero típicamente la construcción implica (quizás sólo implícitamente) la elección de un subespacio isotrópico máximo en la representación vectorial del grupo. Sobre los números reales, esto generalmente requiere el uso de una complejidad de la representación vectorial. Por esta razón, es conveniente definir primero las representaciones de espín sobre los números complejos y derivar representaciones reales introduciendo estructuras reales .
Las propiedades de las representaciones de espín dependen, de manera sutil, de la dimensión y firma del grupo ortogonal. En particular, las representaciones de espines a menudo admiten formas bilineales invariantes , que pueden usarse para incrustar los grupos de espines en grupos de Lie clásicos . En dimensiones bajas, estas incrustaciones son sobreyectivas y determinan isomorfismos especiales entre los grupos de espín y los grupos de Lie más familiares; esto aclara las propiedades de los espinores en estas dimensiones.
Configuración
Sea V un espacio vectorial real o complejo de dimensión finita con una forma cuadrática Q no degenerada . Los mapas lineales (reales o complejos) que conservan Q forman el grupo ortogonal O ( V , Q ) . El componente de identidad del grupo se denomina grupo ortogonal especial SO ( V , Q ) . (Para V real con una forma cuadrática indefinida, esta terminología no es estándar: el grupo ortogonal especial generalmente se define como un subgrupo con dos componentes en este caso). Hasta el isomorfismo de grupo , SO ( V , Q ) tiene una conexión única doble tapa , el grupo de giro Spin ( V , Q ) . Por tanto, existe un homomorfismo de grupo h : Spin ( V , Q ) → SO ( V , Q ) cuyo núcleo tiene dos elementos denominados {1, −1} , donde 1 es el elemento de identidad . Por lo tanto, los elementos del grupo g y -g de centrifugado ( V , Q ) son equivalentes después de la homomorfismo a SO ( V , Q ) ; es decir, h ( g ) = h ( −g ) para cualquier g en Spin ( V , Q ) .
Los grupos O ( V , Q ), SO ( V , Q ) y Spin ( V , Q ) son todos grupos de Lie , y para fijo ( V , Q ) tienen el mismo álgebra de Lie , por lo que ( V , Q ) . Si V es real, entonces V es un verdadero subespacio vectorial de su complejización V C = V ⊗ R C , y la forma cuadrática Q se extiende naturalmente a una forma cuadrática Q C en V C . Esto incrusta SO ( V , Q ) como un subgrupo de SO ( V C , Q C ) y, por lo tanto, podemos realizar Spin ( V , Q ) como un subgrupo de Spin ( V C , Q C ) . Además, entonces ( V C , Q C ) es la complejidad de tan ( V , Q ) .
En el caso complejo, formas cuadráticas se determinan de forma única hasta el isomorfismo por la dimensión n de V . Concretamente, podemos asumir V = C n y
Los grupos de Lie correspondientes se denominan O ( n , C ), SO ( n , C ), Spin ( n , C ) y su álgebra de Lie como tal ( n , C ) .
En el caso real, las formas cuadráticas se determinan hasta el isomorfismo por un par de números enteros no negativos ( p , q ) donde n = p + q es la dimensión de V , y p - q es la firma . Concretamente, podemos suponer V = R n y
Los grupos de Lie correspondientes y el álgebra de Lie se denominan O ( p , q ), SO ( p , q ), Spin ( p , q ) y así ( p , q ) . Escribimos R p , q en lugar de R n para hacer explícita la firma.
Las representaciones de espín son, en cierto sentido, las representaciones más simples de Spin ( n , C ) y Spin ( p , q ) que no provienen de representaciones de SO ( n , C ) y SO ( p , q ) . Una representación de espín es, por lo tanto, un espacio vectorial real o complejo S junto con un homomorfismo de grupo ρ desde Spin ( n , C ) o Spin ( p , q ) al grupo lineal general GL ( S ) tal que el elemento -1 es no en el núcleo de ρ .
Si S es tal representación, entonces de acuerdo con la relación entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie, induce una representación del álgebra de Lie , es decir, un homomorfismo del álgebra de Lie de so ( n , C ) o so ( p , q ) al álgebra de Lie gl ( S ) de endomorfismos de S con el soporte del conmutador .
Las representaciones de espín se pueden analizar de acuerdo con la siguiente estrategia: si S es una representación de espín real de Spin ( p , q ) , entonces su complexificación es una representación de espín compleja de Spin ( p , q ) ; como representación de so ( p , q ) , se extiende por tanto a una representación compleja de so ( n , C ) . Procediendo a la inversa, por lo tanto, primero construimos representaciones de espín complejas de Spin ( n , C ) y so ( n , C ) , luego las restringimos a representaciones de espín complejas de so ( p , q ) y Spin ( p , q ) , luego finalmente Analizar posibles reducciones a representaciones de espín reales.
Representaciones de espín complejas
Sea V = C n con la forma cuadrática estándar Q de modo que
La forma bilineal simétrica en V asociada a Q por polarización se denota ⟨.,.⟩ .
Subespacios isotrópicos y sistemas de raíces
Una construcción estándar de las representaciones de espín de so ( n , C ) comienza con la elección de un par ( W , W ∗ ) de subespacios máximos totalmente isotrópicos (con respecto a Q ) de V con W ∩ W ∗ = 0 . Hagamos esa elección. Si n = 2 m o n = 2 m + 1 , entonces W y W * ambos tienen dimensión m . Si n = 2 m , entonces V = W ⊕ W ∗ , mientras que si n = 2 m + 1 , entonces V = W ⊕ U ⊕ W ∗ , donde U es el complemento ortogonal unidimensional de W ⊕ W ∗ . La forma bilineal ⟨.,.⟩ Asociada a Q induce un apareamiento entre W y W ∗ , que debe ser no degenerado, porque W y W ∗ son subespacios totalmente isotrópicos y Q es no degenerado. Por tanto, W y W ∗ son espacios vectoriales duales .
Más concretamente, vamos a un 1 , ... una m servir de base para W . Entonces hay una base única α 1 , ... α m de W ∗ tal que
Si A es una matriz m × m , entonces A induce un endomorfismo de W con respecto a esta base y la transpuesta A T induce una transformación de W ∗ con
para todo w en W y w ∗ en W ∗ . De ello se deduce que el endomorfismo ρ A de V , igual a A en W , - A T en W ∗ y cero en U (si n es impar), es sesgado,
para todo u , v en V , y por lo tanto (ver grupo clásico ) un elemento de so ( n , C ) ⊂ End ( V ) .
El uso de matrices diagonales en esta construcción define una subálgebra de Cartan h de so ( n , C ) : el rango de so ( n , C ) es m , y las matrices diagonales n × n determinan una subálgebra abeliana m -dimensional.
Deje ε 1 , ... ε m sea la base de h * de tal manera que, para una matriz diagonal A , ε k ( ρ A ) es el k ésimo diagonal de entrada de A . Claramente, esta es una base para h ∗ . Dado que la forma bilineal identifica entonces ( n , C ) con, explícitamente,
- [1]
ahora es fácil construir el sistema raíz asociado a h . Los espacios raíz ( espacios propios simultáneos para la acción de h ) están divididos por los siguientes elementos:
- con raíz (valor propio simultáneo)
- (que está en h si i = j ) con raíz
- con raíz
y, si n es impar y u es un elemento distinto de cero de U ,
- con raíz
- con raíz
Así, con respecto a la base ε 1 ,… ε m , las raíces son los vectores en h ∗ que son permutaciones de
junto con las permutaciones de
si n = 2 m + 1 es impar.
Un sistema de raíces positivas está dado por ε i + ε j ( i ≠ j ), ε i - ε j ( i < j ) y (para n impar) ε i . Las raíces simples correspondientes son
Las raíces positivas son combinaciones lineales enteras no negativas de las raíces simples.
Representaciones de spin y sus pesos
Una construcción de las representaciones de espín de so ( n , C ) usa el (los) álgebra (s) exterior (es)
- y / o
Hay una acción de V sobre S tal que para cualquier elemento v = w + w ∗ en W ⊕ W ∗ y cualquier ψ en S la acción viene dada por:
donde el segundo término es una contracción ( multiplicación interior ) definida usando la forma bilineal, que empareja W y W ∗ . Esta acción respeta las relaciones de Clifford v 2 = Q ( v ) 1 , por lo que induce un homomorfismo del álgebra de Clifford Cl n C de V a End ( S ) . Se puede definir una acción similar en S ′ , de modo que tanto S como S ′ son módulos de Clifford .
El álgebra de Lie, por lo que ( n , C ) es isomorfa al espín n C del álgebra de Lie complejado en Cl n C a través del mapeo inducido por el Spin ( n ) → SO ( n )
De ello se deduce que tanto S como S ′ son representaciones de so ( n , C ) . En realidad son equivalentes representaciones, por lo que se centran en S .
La descripción explícita muestra que los elementos α i ∧ a i de la subálgebra de Cartan h actúan sobre S por
Una base para S viene dada por elementos de la forma
para 0 ≤ k ≤ m y i 1 <... < i k . Estos claramente abarcan espacios de peso para la acción de h : α i ∧ a i tiene valor propio −1/2 en el vector base dado si i = i j para algún j , y tiene valor propio 1/2 en caso contrario.
De ello se deduce que los pesos de S son todas las combinaciones posibles de
y cada espacio de peso es unidimensional. Los elementos de S se denominan espinores de Dirac .
Cuando n es par, S no es una representación irreducible : y son subespacios invariantes. Los pesos se dividen en aquellos con un número par de signos negativos y aquellos con un número impar de signos negativos. Tanto S + como S - son representaciones irreducibles de dimensión 2 m −1 cuyos elementos se denominan espinores de Weyl . También se conocen como representaciones de espín quiral o representaciones de medio espín. Con respecto al sistema de raíces positivo anterior, los pesos más altos de S + y S - son
- y
respectivamente. La acción de Clifford identifica Cl n C con Fin ( S ) y la subálgebra par se identifica con los endomorfismos preservando S + y S - . El otro módulo de Clifford S ′ es isomorfo a S en este caso.
Cuando n es impar, S es una representación irreducible de so ( n , C ) de dimensión 2 m : la acción de Clifford de un vector unitario u ∈ U está dada por
y así los elementos de tan ( n , C ) de la forma u ∧ w o u ∧ w * no conservan las partes pares e impares de la álgebra exterior de W . El mayor peso de S es
La acción de Clifford no es fiel en S : Cl n C se puede identificar con Fin ( S ) ⊕ Fin ( S ′), donde u actúa con el signo opuesto en S ′. Más precisamente, las dos representaciones están relacionadas por la paridad involución α de Cl n C (también conocido como el automorphism principal), que es la identidad en la subálgebra incluso, y menos la identidad en la parte impar de Cl n C . En otras palabras, existe un isomorfismo lineal de S a S ′, que identifica la acción de A en Cl n C sobre S con la acción de α ( A ) sobre S ′.
Formas bilineales
si λ es un peso de S , también lo es - λ . De ello se deduce que S es isomorfo a la representación dual S ∗ .
Cuando n = 2 m + 1 es impar, el isomorfismo B : S → S ∗ es único hasta la escala por el lema de Schur , ya que S es irreducible, y define una forma bilineal invariante no degenerada β en S vía
Aquí invariancia significa que
para todo ξ en so ( n , C ) y φ , ψ en S - en otras palabras, la acción de ξ es sesgada con respecto a β . De hecho, más es cierto: S ∗ es una representación del álgebra de Clifford opuesta , y por lo tanto, dado que Cl n C solo tiene dos módulos simples no triviales S y S ′, relacionados por la involución de paridad α , existe un antiautomorfismo τ de Cl n C tal que
para cualquier A en Cl n C . De hecho, τ es reversión (el antiautomorfismo inducido por la identidad en V ) para m par, y conjugación (el antiautomorfismo inducido por menos la identidad en V ) para m impar. Estos dos antiautomorphisms están relacionadas por la paridad involución α , que es el automorphism inducida por menos la identidad en V . Ambos satisfacen τ ( ξ ) = - ξ para ξ en entonces ( n , C ).
Cuando n = 2 m , la situación depende más sensiblemente de la paridad de m . Para m par, un peso λ tiene un número par de signos negativos si y solo si - λ lo tiene; se sigue que hay isomorfismos separados B ± : S ± → S ± ∗ de cada representación de medio espín con su dual, cada uno determinado de forma única hasta la escala. Estos pueden combinarse en un isomorfismo B : S → S ∗ . Para m impar, λ es un peso de S + si y solo si - λ es un peso de S - ; por tanto, hay un isomorfismo de S + a S - ∗ , nuevamente único hasta la escala, y su transposición proporciona un isomorfismo de S - a S + ∗ . Estos pueden volver a combinarse en un isomorfismo B : S → S ∗ .
Tanto para m par como para m impar, la libertad en la elección de B puede restringirse a una escala general insistiendo en que la forma bilineal β correspondiente a B satisface (1), donde τ es un antiautomorfismo fijo (ya sea de reversión o de conjugación).
Simetría y tensor cuadrado
Las propiedades de simetría de β : S ⊗ S → C se pueden determinar usando álgebras de Clifford o teoría de la representación. De hecho, se puede decir mucho más: el tensor cuadrado S ⊗ S debe descomponerse en una suma directa de k- formas en V para varios k , porque sus pesos son todos elementos en h ∗ cuyos componentes pertenecen a {−1,0,1 }. Ahora, los mapas lineales equivariantes S ⊗ S → ∧ k V ∗ corresponden bijetivamente a los mapas invariantes ∧ k V ⊗ S ⊗ S → C y tales mapas distintos de cero se pueden construir mediante la inclusión de ∧ k V en el álgebra de Clifford. Además, si β ( φ , ψ ) = ε β ( ψ , φ ) y τ tiene el signo ε k en ∧ k V entonces
para A en ∧ k V .
Si n = 2 m +1 es impar, se sigue del Lema de Schur que
(ambos lados tienen una dimensión de 2 2 my las representaciones de la derecha no son equivalentes). Debido a que las simetrías están gobernadas por una involución τ que es conjugación o reversión, la simetría del componente ∧ 2j V ∗ se alterna con j . La combinatoria elemental da
y los determina la muestra que se producen representaciones en S 2 S y que se producen en ∧ 2 S . [2] En particular
- y
para v ∈ V (que es isomorfo a ∧ 2 m V ), lo que confirma que τ es reversión para m par y conjugación para m impar.
Si n = 2 m es par, entonces el análisis es más complicado, pero el resultado es una descomposición más refinada: S 2 S ± , ∧ 2 S ± y S + ⊗ S - pueden descomponerse cada uno como una suma directa de k - formas (donde para k = m hay una descomposición adicional en formas m autoduales y antiduales).
El resultado principal es la realización de so ( n , C ) como subálgebra de un álgebra de Lie clásica en S , dependiendo de n módulo 8, de acuerdo con la siguiente tabla:
n mod 8 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Álgebra de spinor |
Para n ≤ 6, estas incrustaciones son isomorfismos (en sl en lugar de gl para n = 6):
Representaciones reales
Las representaciones de espín complejas de so ( n , C ) producen representaciones reales S de so ( p , q ) al restringir la acción a las subálgebras reales. Sin embargo, existen estructuras de "realidad" adicionales que son invariantes bajo la acción de las álgebras de Lie reales. Estos vienen en tres tipos.
- Hay una invariante complejo mapa antilineal r : S → S con r 2 = id S . El conjunto de punto fijo de r es entonces un verdadero subespacio vectorial S R de S con S R ⊗ C = S . A esto se le llama estructura real .
- Hay una invariante complejo mapa antilineal j : S → S con j 2 = -id S . Se deduce que la triple i , j y k : = ij hacen S en un espacio de vector quaternionic S H . A esto se le llama estructura cuaterniónica .
- Existe un mapa antilineal complejo invariante b : S → S ∗ que es invertible. Esto define una forma bilineal pseudohermitiana en S y se llama estructura hermitiana .
El tipo de estructura invariante bajo so ( p , q ) depende solo de la firma p - q módulo 8, y viene dado por la siguiente tabla.
p - q mod 8 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Estructura | R + R | R | C | H | H + H | H | C | R |
Aquí R , C y H denotan estructuras reales, hermitianas y cuaterniónicas respectivamente, y R + R y H + H indican que las representaciones de medio espín admiten estructuras reales o cuaterniónicas respectivamente.
Descripción y tablas
Para completar la descripción de la representación real, debemos describir cómo estas estructuras interactúan con las formas bilineales invariantes. Dado que n = p + q ≅ p - q mod 2, hay dos casos: la dimensión y la firma son pares, y la dimensión y la firma son impares.
El caso extraño es más simple, solo hay una representación de espín compleja S , y no ocurren estructuras hermitianas. Aparte del caso trivial n = 1, S es siempre incluso dimensiones, decir dim S = 2 N . Las formas reales de so (2 N , C ) son so ( K , L ) con K + L = 2 N y así ∗ ( N , H ), mientras que las formas reales de sp (2 N , C ) son sp (2 N , R ) y sp ( K , L ) con K + L = N . La presencia de una acción de Clifford de V sobre S fuerza a K = L en ambos casos a menos que pq = 0, en cuyo caso KL = 0, que se denota simplemente así (2 N ) o sp ( N ). Por lo tanto, las representaciones de espín impares se pueden resumir en la siguiente tabla.
n mod 8 | 1, 7 | 3, 5 | |
---|---|---|---|
p - q mod 8 | entonces (2 N , C ) | sp (2 N , C ) | |
1, 7 | R | entonces ( N , N ) o así (2 N ) | sp (2 N , R ) |
3, 5 | H | entonces ∗ ( N , H ) | sp ( N / 2, N / 2) † o sp ( N ) |
(†) N es par para n > 3 y para n = 3 , esto es sp (1) .
El caso de dimensiones pares es similar. Para n > 2 , las representaciones complejas de medio espín son de dimensión par. Además, tenemos que tratar con estructuras hermitianas y las formas reales de sl (2 N , C ) , que son sl (2 N , R ) , su ( K , L ) con K + L = 2 N , y sl ( N , H ) . Las representaciones de espín uniforme resultantes se resumen a continuación.
n mod 8 | 0 | 2, 6 | 4 | |
---|---|---|---|---|
p - q mod 8 | entonces (2 N , C ) + entonces (2 N , C ) | sl (2 N , C ) | sp (2 N , C ) + sp (2 N , C ) | |
0 | R + R | entonces ( N , N ) + entonces ( N , N ) ∗ | sl (2 N , R ) | sp (2 N , R ) + sp (2 N , R ) |
2, 6 | C | entonces (2 N , C ) | su ( N , N ) | sp (2 N , C ) |
4 | H + H | entonces ∗ ( N , H ) + entonces ∗ ( N , H ) | sl ( N , H ) | sp ( N / 2, N / 2) + sp ( N / 2, N / 2) † |
(*) Para pq = 0 , tenemos en su lugar entonces (2 N ) + entonces (2 N )
(†) N es par para n > 4 y para pq = 0 (que incluye n = 4 con N = 1 ), tenemos en su lugar sp ( N ) + sp ( N )
Los isomorfismos de baja dimensión en el caso complejo tienen las siguientes formas reales.
Firma euclidiana | Firma minkowskiana | Otras firmas | |
Los únicos isomorfismos especiales de álgebras de Lie reales que faltan en esta tabla son y
Notas
- ^ Fulton y Harris 1991 Capítulo 20, p.303. El factor 2 no es importante, está ahí para concordar con la construcción del álgebra de Clifford.
- ^ Esta señal también se puede determinar a partir de la observación de que si φ es un vector de peso más alto de S entonces φ ⊗ φ es un más alto vector de peso para ∧ m V ≅ ∧ m 1 V , por lo que este sumando debe ocurrir en S 2 S .
Referencias
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- Deligne, Pierre (1999), "Notas sobre espinores", en P. Deligne; P. Etingof; DS Freed; LC Jeffrey; D. Kazhdan; JW Morgan; DR Morrison; E. Witten (eds.), Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians , Providence: American Mathematical Society, págs. 99-135. Consulte también el sitio web del programa para obtener una versión preliminar.
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991), Teoría de la representación. Un primer curso , Textos de posgrado en matemáticas , lecturas en matemáticas, 129 , Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-97495-4, MR 1153249.
- Harvey, F. Reese (1990), Spinors y calibraciones , Academic Press, ISBN 978-0-12-329650-4.
- Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry , Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0.
- Weyl, Hermann (1946), Los grupos clásicos: sus invariantes y representaciones (2a ed.), Princeton University Press (reimpreso en 1997), ISBN 978-0-691-05756-9.