En álgebra abstracta , el teorema fundamental de los homomorfismos , también conocido como teorema del homomorfismo fundamental , relaciona la estructura de dos objetos entre los que se da un homomorfismo , y del núcleo y la imagen del homomorfismo.
El teorema del homomorfismo se utiliza para demostrar los teoremas del isomorfismo .
Versión teórica de grupo
Dados dos grupos G y H y un homomorfismo de grupo f : G → H , sea K un subgrupo normal en G y φ el homomorfismo sobreyectivo natural G → G / K (donde G / K es un grupo cociente ). Si K es un subconjunto de ker ( f ), entonces existe un homomorfismo único h : G / K → H tal que f = h φ.
En otras palabras, la proyección natural φ es universal entre los homomorfismos en G que mapean a K con el elemento de identidad.
La situación se describe mediante el siguiente diagrama conmutativo :
Al establecer K = ker ( f ) obtenemos inmediatamente el primer teorema de isomorfismo .
Podemos escribir el enunciado del teorema fundamental sobre homomorfismos de grupos como "Toda imagen homomórfica de un grupo es isomorfa a un grupo cociente".
Otras versiones
Teoremas similares son válidos para monoides , espacios vectoriales , módulos y anillos .
Ver también
Referencias
- Beachy, John A. (1999), "Teorema 1.2.7 (El teorema fundamental del homomorfismo)", Conferencias introductorias sobre anillos y módulos , Textos estudiantiles de la London Mathematical Society, 47 , Cambridge University Press, p. 27, ISBN 9780521644075.
- Grove, Larry C. (2012), "Teorema 1.11 (El teorema fundamental del homomorfismo)", Álgebra , Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, p. 11, ISBN 9780486142135.
- Jacobson, Nathan (2012), "Teorema fundamental sobre homomorfismos de Ω-álgebras", Álgebra básica II , Dover Books on Mathematics (2ª ed.), Courier Corporation, p. 62, ISBN 9780486135212.
- Rose, John S. (1994), "3.24 Teorema fundamental sobre homomorfismos", Un curso sobre teoría de grupos [reimpresión del original de 1978] , Dover Publications, Inc., Nueva York, págs. 44–45, ISBN 0-486-68194-7, MR 1298629.