En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , los teoremas del isomorfismo (también conocidos como teoremas del isomorfismo de Noether ) son teoremas que describen la relación entre cocientes , homomorfismos y subobjetos . Existen versiones de los teoremas para grupos , anillos , espacios vectoriales , módulos , álgebras de Lie y varias otras estructuras algebraicas . En álgebra universal , los teoremas de isomorfismo se pueden generalizar al contexto de álgebras ycongruencias .
Historia
Los teoremas de isomorfismo fueron formulados con cierta generalidad para homomorfismos de módulos por Emmy Noether en su artículo Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern , que fue publicado en 1927 en Mathematische Annalen . Se pueden encontrar versiones menos generales de estos teoremas en el trabajo de Richard Dedekind y en artículos anteriores de Noether.
Tres años más tarde, BL van der Waerden publicó su influyente Álgebra, el primer libro de texto de álgebra abstracta que adoptó el enfoque de grupos - anillos - campos del tema. Van der Waerden acreditó las conferencias de Noether sobre teoría de grupos y Emil Artin sobre álgebra, así como un seminario dirigido por Artin, Wilhelm Blaschke , Otto Schreier y el propio van der Waerden sobre ideales como principales referencias. Los tres teoremas del isomorfismo, llamados teorema del homomorfismo , y las dos leyes del isomorfismo cuando se aplican a grupos, aparecen explícitamente.
Grupos
Primero presentamos los teoremas de isomorfismo de los grupos .
Nota sobre números y nombres
A continuación presentamos cuatro teoremas, denominados A, B, C y D. A menudo se enumeran como "Primer teorema del isomorfismo", "Segundo ...", etc. sin embargo, no existe un acuerdo universal sobre la numeración. Aquí damos algunos ejemplos de los teoremas de isomorfismo de grupo (observe que estos teoremas tienen análogos para anillos y módulos) en la literatura:
Autor | Teorema A | Teorema B | Teorema C | |
---|---|---|---|---|
Sin "tercer" teorema | Jacobson [1] | Teorema fundamental de los homomorfismos | (segundo teorema del isomorfismo) | "a menudo llamado el primer teorema del isomorfismo " |
van der Waerden, [2] Durbin [4] | Teorema fundamental de los homomorfismos | primer teorema del isomorfismo | segundo teorema del isomorfismo | |
Knapp [5] | (sin nombre) | Segundo teorema del isomorfismo | Primer teorema del isomorfismo | |
Parrilla [6] | Teorema del homomorfismo | Segundo teorema del isomorfismo | Primer teorema del isomorfismo | |
Tres teoremas numerados | (Otra convención mencionada en Grillet) | Primer teorema del isomorfismo | Tercer teorema del isomorfismo | Segundo teorema del isomorfismo |
Rotman [7] | Primer teorema del isomorfismo | Segundo teorema del isomorfismo | Tercer teorema del isomorfismo | |
Sin numeración | Milne [8] | Teorema del homomorfismo | Teorema del isomorfismo | Teorema de correspondencia |
Scott [9] | Teorema del homomorfismo | Teorema del isomorfismo | Teorema del estudiante de primer año |
Es menos común incluir el Teorema D, generalmente conocido como el " teorema de la red " o el "teorema de la correspondencia", a uno de los teoremas de isomorfismo, pero cuando lo hacen, es el último.
Declaración de los teoremas
Teorema A (grupos)
Sean G y H grupos, y sea f : G → H un homomorfismo . Luego:
- El núcleo de f es un subgrupo normal de G ,
- La imagen de f es un subgrupo de H , y
- La imagen de f es isomorfa al grupo cociente G / ker ( f ).
En particular, si f es sobreyectiva, entonces H es isomorfo a G / ker ( f ).
Teorema B (grupos)
Dejar ser un grupo. Dejar ser un subgrupo de , y deja ser un subgrupo normal de . Entonces la siguiente espera:
- El producto es un subgrupo de ,
- La intersección es un subgrupo normal de , y
- Los grupos de cocientes y son isomorfos.
Técnicamente, no es necesario para ser un subgrupo normal, siempre que es un subgrupo del normalizador de en . En este caso, la intersección no es un subgrupo normal de , pero sigue siendo un subgrupo normal de .
Este teorema a veces se denomina "teorema del isomorfismo", [8] "teorema del diamante" [10] o "teorema del paralelogramo". [11]
Una aplicación del segundo teorema del isomorfismo identifica grupos lineales proyectivos : por ejemplo, el grupo en la línea proyectiva compleja comienza con la configuración, el grupo de matrices complejas invertibles 2 × 2, , el subgrupo de las matrices del determinante 1, y el subgrupo normal de matrices escalares , tenemos , dónde es la matriz de identidad, y . Entonces, el segundo teorema del isomorfismo establece que:
Teorema C (grupos)
Dejar ser un grupo, y un subgrupo normal de . Luego
- Si es un subgrupo de tal que , luego tiene un subgrupo isomorfo a .
- Cada subgrupo de es de la forma para algún subgrupo de tal que .
- Si es un subgrupo normal de tal que , luego tiene un subgrupo normal isomorfo a.
- Cada subgrupo normal de es de la forma , para algún subgrupo normal de tal que .
- Si es un subgrupo normal de tal que , luego el grupo del cociente es isomorfo a .
Teorema D (grupos)
El teorema de correspondencia (también conocido como teorema de la red) se denomina a veces el tercer o cuarto teorema del isomorfismo.
El lema de Zassenhaus (también conocido como el lema de la mariposa) se denomina a veces el cuarto teorema del isomorfismo. [ cita requerida ]
Discusión
El primer teorema del isomorfismo se puede expresar en lenguaje teórico de categorías diciendo que la categoría de grupos es (epi normal, mono) -factorizable; en otras palabras, los epimorfismos normales y los monomorfismos forman un sistema de factorización para la categoría. Esto se captura en el diagrama conmutativo al margen, que muestra los objetos y morfismos cuya existencia se puede deducir del morfismo.. El diagrama muestra que todo morfismo en la categoría de grupos tiene un núcleo en el sentido teórico de la categoría; el morfismo arbitrario f factores en, donde ι es un monomorfismo y π es un epimorfismo (en una categoría conormal, todos los epimorfismos son normales). Esto está representado en el diagrama por un objeto. y un monomorfismo (los granos son siempre monomorfismos), que completan la breve secuencia exacta que va desde la parte inferior izquierda hasta la parte superior derecha del diagrama. El uso de la convención de secuencia exacta nos ahorra tener que extraer los morfismos cero de a y .
Si la secuencia está dividida a la derecha (es decir, hay un morfismo σ que mapeaa una preimagen π de sí mismo), entonces G es el producto semidirecto del subgrupo normal y el subgrupo . Si se deja dividido (es decir, existe alguna tal que ), entonces también debe estar dividido a la derecha, y es un producto directo descomposición de G . En general, la existencia de una división de derecha no implica la existencia de una división de izquierda; pero en una categoría abeliana (como los grupos abelianos), las divisiones por la izquierda y las divisiones por la derecha son equivalentes por el lema de división , y una división por la derecha es suficiente para producir una descomposición de suma directa. En una categoría abeliana, todos los monomorfismos también son normales, y el diagrama puede extenderse por una segunda secuencia breve y exacta..
En el segundo teorema del isomorfismo, el producto SN es la unión de S y N en la red de subgrupos de G , mientras que la intersección S ∩ N es el encuentro .
El tercer teorema del isomorfismo está generalizado por el lema de los nueve a categorías abelianas y mapas más generales entre objetos.
Anillos
Los enunciados de los teoremas para anillos son similares, con la noción de un subgrupo normal reemplazada por la noción de un ideal .
Teorema A (anillos)
Sean R y S anillos, y sea φ : R → S un homomorfismo de anillo . Luego:
- El núcleo de φ es un ideal de R ,
- La imagen de φ es un subanillo de S , y
- La imagen de φ es isomorfa al anillo del cociente R / ker ( φ ).
En particular, si φ es sobreyectiva , S es isomorfo a R / ker ( φ ).
Teorema B (anillos)
Sea R un anillo. Deje que S sea un subanillo de R , y dejar que sea un ideal de R . Luego:
- La suma S + I = { s + i | s ∈ S , i ∈ I } es un subanillo de R ,
- La intersección S ∩ I es un ideal de S , y
- Los anillos del cociente ( S + I ) / I y S / ( S ∩ I ) son isomorfos.
Teorema C (anillos)
Deje que R sea un anillo, y que un ideal de R . Luego
- Si es un subanillo de tal que , luego es un subanillo de .
- Cada subring de es de la forma , para algunos subring de tal que .
- Si es un ideal de tal que , luego es un ideal de .
- Cada ideal de es de la forma , por algún ideal de tal que .
- Si es un ideal de tal que , luego el anillo del cociente es isomorfo a .
Teorema D (anillos)
Dejar ser un ideal de . La correspondencia es una inclusión que preserva la biyección entre el conjunto de subanillos de que contienen y el conjunto de subanillos de . Además, (un subanillo que contiene ) es un ideal de si y solo si es un ideal de . [12]
Módulos
Los enunciados de los teoremas de isomorfismo para módulos son particularmente simples, ya que es posible formar un módulo cociente a partir de cualquier submódulo . Los teoremas de isomorfismo para espacios vectoriales (módulos sobre un campo) y grupos abelianos (módulos sobre) son casos especiales de estos. Para espacios vectoriales de dimensión finita, todos estos teoremas se derivan del teorema de rango-nulidad .
A continuación, "módulo" significará " módulo R " para algunos anillos R fijos .
Teorema A (módulos)
Sean M y N módulos, y sea φ : M → N un homomorfismo de módulo . Luego:
- El núcleo de φ es un submódulo de M ,
- La imagen de φ es un submódulo de N , y
- La imagen de φ es isomorfa al módulo de cociente M / ker ( φ ).
En particular, si φ es sobreyectiva, entonces N es isomorfo a M / ker ( φ ).
Teorema B (módulos)
Deje que M sea un módulo, y dejar que S y T sea submódulos de M . Luego:
- La suma S + T = { s + t | s ∈ S , t ∈ T } es un submódulo de M ,
- La intersección S ∩ T es un submódulo de M , y
- Los módulos de cociente ( S + T ) / T y S / ( S ∩ T ) son isomorfos.
Teorema C (módulos)
Deje que M sea un módulo, T un submódulo de M .
- Si es un submódulo de tal que , luego es un submódulo de .
- Cada submódulo de es de la forma , para algún submódulo de tal que .
- Si es un submódulo de tal que , luego el módulo del cociente es isomorfo a .
Teorema D (módulos)
Dejar ser un módulo, un submódulo de . Hay una biyección entre los submódulos de que contienen y los submódulos de . La correspondencia está dada por para todos . Esta correspondencia conmuta con los procesos de tomar sumas e intersecciones (es decir, es un isomorfismo reticular entre el reticulado de submódulos de y la celosía de submódulos de que contienen ). [13]
Álgebra universal
Para generalizar esto al álgebra universal , los subgrupos normales deben ser reemplazados por relaciones de congruencia .
Una congruencia en un álgebra es una relación de equivalencia que forma una subálgebra de considerado como un álgebra con operaciones por componentes. Se puede hacer el conjunto de clases de equivalenciaen un álgebra del mismo tipo definiendo las operaciones a través de representantes; esto estará bien definido ya que es una subálgebra de . La estructura resultante es el álgebra del cociente .
Teorema A (álgebra universal)
Dejar ser un homomorfismo de álgebra . Entonces la imagen de es una subálgebra de , la relación dada por (es decir, el núcleo de) es una congruencia en y las álgebras y son isomorfos. (Tenga en cuenta que en el caso de un grupo, si , por lo que se recupera la noción de kernel utilizada en la teoría de grupos en este caso).
Teorema B (álgebra universal)
Dado un álgebra , una subálgebra de y una congruencia en , dejar ser el rastro de en y la colección de clases de equivalencia que se cruzan . Luego
- es una congruencia en ,
- es una subálgebra de , y
- el álgebra es isomorfo al álgebra .
Teorema C (álgebra universal)
Dejar ser un álgebra y dos relaciones de congruencia en tal que . Luego es una congruencia en , y es isomorfo a .
Teorema D (álgebra universal)
Dejar ser un álgebra y denotar el conjunto de todas las congruencias en . El conjuntoes una celosía completa ordenada por inclusión. [14] Si es una congruencia y denotamos por el conjunto de todas las congruencias que contienen (es decir es un filtro principal en, además es una subred), entonces el mapa es un isomorfismo de celosía. [15] [16]
Nota
- ↑ Jacobson (2009), sección 1.10
- ↑ van der Waerden, Álgebra (1994).
- ^ Durbin (2009), sec. 54
- ^ [los nombres son] esencialmente los mismos que [van der Waerden 1994] [3]
- ↑ Knapp (2016), sección IV 2
- ^ Grillet (2007), sec. Yo 5
- ^ Rotman (2003), sec. 2.6
- ↑ a b Milne (2013), Cap. 1 segundo. Teoremas sobre homomorfismos
- ↑ Scott (1964), secs 2.2 y 2.3
- ↑ I. Martin Isaacs (1994). Álgebra: un curso de posgrado . American Mathematical Soc. pag. 33 . ISBN 978-0-8218-4799-2.
- ^ Paul Moritz Cohn (2000). Álgebra clásica . Wiley. pag. 245 . ISBN 978-0-471-87731-8.
- ^ Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta . Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. pag. 246 . ISBN 978-0-471-43334-7.
- ^ Dummit y Foote (2004), p. 349
- ^ Stanley y Sankappanavar (2012), p. 37
- ^ Stanley y Sankappanavar (2012), p. 49
- ^ William Sun, ( https://math.stackexchange.com/users/413924/william-sun ). "¿Existe una forma general del teorema de correspondencia?" . StackExchange de matemáticas . Consultado el 20 de julio de 2019 .
Referencias
- Emmy Noether , Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern , Mathematische Annalen 96 (1927) págs. 26–61
- Colin McLarty , "Topología 'teórica de conjuntos' de Emmy Noether: de Dedekind al ascenso de los functores". La arquitectura de las matemáticas modernas: ensayos de historia y filosofía (editado por Jeremy Gray y José Ferreirós), Oxford University Press (2006) págs. 211–35.
- Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , 1 (2a ed.), Dover, ISBN 9780486471891
- Paul M. Cohn, Álgebra universal , Capítulo II.3 p. 57
- Milne, James S. (2013), Teoría de grupos , 3.13
- van der Waerden, BI (1994), Álgebra , 1 (9 ed.), Springer-Verlag
- Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta . Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
- Burris, Stanley; Sankappanavar, HP (2012). Un curso de álgebra universal (PDF) . ISBN 978-0-9880552-0-9.
- WR Scott (1964), Teoría de grupos , Prentice Hall
- John R. Durbin (2009). Álgebra moderna: una introducción (6 ed.). Wiley. ISBN 978-0-470-38443-5.
- Anthony W. Knapp (2016), Álgebra básica (Segunda edición digital).
- Pierre Antoine Grillet (2007), Álgebra abstracta (2 ed.), Springer
- Joseph J. Rotman (2003), Álgebra moderna avanzada (2 ed.), Prentice Hall, ISBN 0130878685