Las matemáticas difusas forman una rama de las matemáticas que incluye la teoría de conjuntos difusos y la lógica difusa . Comenzó en 1965 después de la publicación de la obra fundamental de Lotfi Asker Zadeh , Fuzzy sets . [1]
Definición
Un subconjunto difuso A de un conjunto X es una función A : X → L , donde L es el intervalo [0, 1]. Esta función también se denomina función de pertenencia. Una función de pertenencia es una generalización de una función indicadora (también llamada función característica ) de un subconjunto definido para L = {0, 1}. Más generalmente, se puede utilizar cualquier retículo completo L en una definición de un subconjunto borroso A . [2]
Fuzzificación
La evolución de la fuzzificación de conceptos matemáticos se puede dividir en tres etapas: [3]
- fuzzificación directa durante los años sesenta y setenta,
- la explosión de las opciones posibles en el proceso de generalización durante los años ochenta,
- la estandarización, axiomatización y L- fuzzificación en los noventa.
Por lo general, una fuzzificación de conceptos matemáticos se basa en una generalización de estos conceptos de funciones características a funciones de pertenencia. Permiten una y B sean dos subconjuntos borrosos de X . La intersección A ∩ B y la unión A ∪ B se definen de la siguiente manera: ( A ∩ B ) ( x ) = min ( A ( x ), B ( x )), ( A ∪ B ) ( x ) = max ( A ( x ), B ( x )) para todo x en X . En lugar de min y max, se puede usar t-norm y t-conorm, respectivamente, [4] por ejemplo, min ( a , b ) se puede reemplazar por la multiplicación ab . A fuzzification sencillo se basa generalmente en min y max operaciones porque en este caso más propiedades de las matemáticas tradicionales pueden extenderse al caso difusa.
Un principio de generalización importante utilizado en la fuzzificación de operaciones algebraicas es una propiedad de cierre. Vamos a * sea una operación binaria sobre X . La propiedad de cierre para un subconjunto difuso A de X es que para todo x , y en X , A ( x * y ) ≥ min ( A ( x ), A ( y )). Sea ( G , *) ser un grupo y A un subconjunto borroso de G . Entonces A es un subgrupo difuso de G si para todo x , y en G , A ( x * y −1 ) ≥ min ( A ( x ), A ( y −1 )).
Se utiliza un principio de generalización similar, por ejemplo, para la fuzzificación de la propiedad de transitividad . Deje que R sea una relación borrosa en X , es decir, R es un subconjunto borroso de X × X . Entonces R es (difuso-) transitivo si para todo x , y , z en X , R ( x , z ) ≥ min ( R ( x , y ), R ( y , z )).
Análogos difusos
Los subgrupos difusos y los subgrupos difusos fueron introducidos en 1971 por A. Rosenfeld. [5] [6] [7]
Los análogos de otras materias matemáticas se han traducido a matemáticas difusas, como la teoría de campo difuso y la teoría de Galois difusa, [8] topología difusa, [9] [10] geometría difusa, [11] [12] [13] [14] difusa ordenamientos, [15] y gráficos difusos. [16] [17] [18]
Ver también
Referencias
- ^ Zadeh, LA (1965) "Conjuntos difusos", Información y control , 8, 338-353.
- ^ Goguen, J. (1967) "Conjuntos L-difusos", J. Math. Anal. Apl. , 18, 145-174.
- ^ Kerre, EE, Mordeson, JN (2005) "Una descripción histórica de las matemáticas difusas", Nuevas matemáticas y computación natural , 1, 1-26.
- ^ Klement, EP, Mesiar, R., Pap, E. (2000) Normas triangulares . Dordrecht, Kluwer.
- ^ Rosenfeld, A. (1971) "Grupos difusos", J. Math. Anal. Apl. , 35, 512-517.
- ^ Mordeson, JN, Malik, DS, Kuroli, N. (2003) Semigrupos difusos . Estudios en borrosidad y Soft Computing, vol. 131, Springer-Verlag
- ^ Mordeson, JN, Bhutani, KR, Rosenfeld, A. (2005) Teoría de grupos difusos . Estudios en borrosidad y Soft Computing, vol. 182. Springer-Verlag.
- ^ Mordeson, JN, Malik, DS (1998) Álgebra conmutativa difusa . World Scientific.
- ^ Chang, CL (1968) "Espacios topológicos difusos", J. Math. Anal. Apl. , 24, 182-190.
- ^ Liu, Y.-M. , Luo, M.-K. (1997) Topología difusa . Avances en sistemas difusos - Aplicaciones y teoría, vol. 9, World Scientific, Singapur.
- ^ Poston, Tim, "Geometría difusa".
- ^ Buckley, JJ, Eslami, E. (1997) "Geometría del plano difuso I: puntos y líneas". Conjuntos y sistemas difusos , 86, 179-187.
- ^ Ghosh, D., Chakraborty, D. (2012) "Geometría analítica del plano difuso I". Conjuntos y sistemas difusos , 209, 66-83.
- ^ Chakraborty, D. y Ghosh, D. (2014) "Geometría analítica del plano difuso II". Conjuntos y sistemas difusos , 243, 84-109.
- ^ Zadeh LA (1971) "Relaciones de similitud y ordenamientos difusos". Informar. Sci. , 3, 177-200.
- ^ Kaufmann, A. (1973). Introducción a los flujos de la théorie des sous-ensembles . París. Masson.
- ^ A. Rosenfeld, A. (1975) "Gráficos difusos". En: Zadeh, LA, Fu, KS, Tanaka, K., Shimura, M. (eds.), Fuzzy Sets and their Applications to Cognitive and Decision Processes , Academic Press, Nueva York, ISBN 978-0-12-775260- 0 , págs. 77–95.
- ^ Yeh, RT, Bang, SY (1975) "Gráficos difusos, relaciones difusas y sus aplicaciones al análisis de conglomerados". En: Zadeh, LA, Fu, KS, Tanaka, K., Shimura, M. (eds.), Fuzzy Sets and their Applications to Cognitive and Decision Processes , Academic Press, Nueva York, ISBN 978-0-12-775260-0 , págs. 125-149.
enlaces externos
- Zadeh, LA Fuzzy Logic - artículo en Scholarpedia
- Hajek, P. Fuzzy Logic - artículo en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford
- Navara, M. Triangular Norms and Conorms - artículo en Scholarpedia
- Dubois, D., Prade H. Possibility Theory - artículo en Scholarpedia
- Center for Mathematics of Uncertainty Fuzzy Math Research - Sitio web alojado en la Universidad de Creighton
- Seising, R. [1] Libro sobre la historia de la teoría matemática de Fuzzy Sets: The Fuzzification of Systems. La génesis de la teoría de conjuntos borrosos y sus aplicaciones iniciales - Desarrollos hasta la década de 1970 (Estudios en borrosidad y Soft Computing, Vol. 216) Berlín, Nueva York, [et al.]: Springer 2007.