En matemáticas , los conjuntos difusos (también conocidos como conjuntos inciertos ) son algo así como conjuntos cuyos elementos tienen grados de pertenencia. Los conjuntos difusos fueron introducidos de forma independiente por Lotfi A. Zadeh y Dieter Klaua en 1965 como una extensión de la noción clásica de conjunto. [1] [2] Al mismo tiempo, Salii (1965) define un tipo más general de la estructura denomina L -relation , que estudió en una algebraica abstracta contexto. Relaciones difusas, que ahora se utilizan en todas las matemáticas difusasy tienen aplicaciones en áreas como la lingüística ( De Cock, Bodenhofer & Kerre 2000 ), la toma de decisiones ( Kuzmin 1982 ) y la agrupación ( Bezdek 1978 ), son casos especiales de L -relaciones cuando L es el intervalo unitario [0, 1 ].
En la teoría de conjuntos clásica , la pertenencia de elementos a un conjunto se evalúa en términos binarios de acuerdo con una condición bivalente : un elemento pertenece o no pertenece al conjunto. Por el contrario, la teoría de conjuntos difusos permite la evaluación gradual de la pertenencia de elementos a un conjunto; esto se describe con la ayuda de una función de pertenencia valorada en el intervalo unitario real [0, 1]. Los conjuntos difusos generalizan conjuntos clásicos, ya que las funciones indicadoras (también conocidas como funciones características) de conjuntos clásicos son casos especiales de las funciones de pertenencia de conjuntos difusos, si estos últimos solo toman valores 0 o 1. [3] En la teoría de conjuntos difusos, conjuntos bivalentes clásicos generalmente se llaman conjuntos crujientes . La teoría de conjuntos difusos se puede utilizar en una amplia gama de dominios en los que la información es incompleta o imprecisa, como la bioinformática . [4]
Definición
Un conjunto difuso es un par dónde es un conjunto (a menudo se requiere que no esté vacío ) yuna función de membresía. El conjunto de referencia (a veces denotado por o ) se llama universo de discurso , y para cada el valor se llama el grado de membresía de en . La funciónse llama función de pertenencia del conjunto difuso.
Para un conjunto finito el conjunto borroso a menudo se denota por
Dejar . Luego se llama
- no incluido en el conjunto difuso Si (ningún miembro),
- totalmente incluido si (miembro completo),
- parcialmente incluido si(miembro difuso). [5]
El conjunto (nítido) de todos los conjuntos borrosos de un universo se denota con (oa veces simplemente ). [6]
Para cualquier conjunto difuso y Se definen los siguientes conjuntos crujientes:
- se llama corte α (también conocido como conjunto de niveles α )
- se llama su fuerte α-corte (también conocido como fuerte conjunto de niveles α )
- se llama su apoyo
- se llama núcleo (o, a veces, núcleo ).
Tenga en cuenta que algunos autores entienden "kernel" de una manera diferente; vea abajo.
Otras definiciones
- Un conjunto borroso es vacío () iff (si y solo si)
- Dos conjuntos borrosos y son iguales () iff
- Un conjunto borroso está incluido en un conjunto difuso () iff
- Para cualquier conjunto difuso , cualquier elemento que satisface
- se llama punto de cruce .
- Dado un conjunto difuso , alguna , para cual no está vacío, se llama nivel de A.
- El conjunto de niveles de A es el conjunto de todos los niveles.representando distintos cortes. Es la imagen de:
- Para un conjunto difuso , su altura viene dada por
- dónde denota el supremo , que existe porque no está vacío y está limitado por encima de 1. Si U es finito, simplemente podemos reemplazar el supremo por el máximo.
- Un conjunto borroso se dice que está normalizado si
- En el caso finito, donde el supremo es un máximo, esto significa que al menos un elemento del conjunto difuso tiene membresía total. Un conjunto difuso no vacío puede normalizarse con resultado dividiendo la función de pertenencia del conjunto difuso por su altura:
- Además de las similitudes, esto se diferencia de la normalización habitual en que la constante de normalización no es una suma.
- Para conjuntos difusos de números reales ( U ⊆ ℝ) con soporte acotado , el ancho se define como
- En el caso cuando es un conjunto finito, o más generalmente un conjunto cerrado , el ancho es sólo
- En el caso n- dimensional ( U ⊆ ℝ n ) lo anterior puede ser reemplazado por el volumen n- dimensional de .
- En general, esto se puede definir dada cualquier medida en U , por ejemplo, mediante la integración (por ejemplo, la integración de Lebesgue ) de .
- Un conjunto realmente difuso ( U ⊆ ℝ) se dice que es convexo (en el sentido difuso, no debe confundirse con un conjunto convexo nítido ), si
- .
- Sin pérdida de generalidad, podemos tomar x ≤ y , lo que da la formulación equivalente
- .
- Esta definición se puede extender a una para un espacio topológico general U : decimos el conjunto difuso es convexo cuando, para cualquier subconjunto Z de U , la condición
- sostiene, donde denota el límite de Z y denota la imagen de un conjunto X (aquí ) bajo una función f (aquí ).
Operaciones de conjuntos difusos
Aunque el complemento de un conjunto difuso tiene una definición única más común, las otras operaciones principales, unión e intersección, tienen cierta ambigüedad.
- Para un conjunto difuso dado , su complemento (a veces denotado como o ) está definido por la siguiente función de pertenencia:
- .
- Sea t una norma t y s la norma s correspondiente (también conocida como t-conorm). Dado un par de conjuntos borrosos, su intersección es definido por:
- ,
- y su unión es definido por:
- .
Por la definición de la t-norma, vemos que la unión y la intersección son conmutativas , monótonas , asociativas y tienen tanto un elemento nulo como un elemento de identidad . Para la intersección, estos son ∅ y U , respectivamente, mientras que para la unión, se invierten. Sin embargo, la unión de un conjunto difuso y su complemento puede no dar como resultado el universo completo U , y la intersección de ellos puede no dar el conjunto vacío ∅. Dado que la intersección y la unión son asociativas, es natural definir la intersección y la unión de una familia finita de conjuntos difusos de forma recursiva.
- Si el negador estándar se reemplaza por otro negador fuerte , la diferencia del conjunto difuso puede generalizarse mediante
- El triple de intersección borrosa, unión y complemento forman un triplete de De Morgan . Es decir, las leyes de De Morgan se extienden a este triple.
- Se pueden derivar ejemplos de pares de intersección / unión difusos con negador estándar a partir de muestras proporcionadas en el artículo sobre t-normas .
- La intersección difusa no es idempotente en general, porque la t-norma mínima estándar es la única que tiene esta propiedad. De hecho, si se utiliza la multiplicación aritmética como norma t, la operación de intersección difusa resultante no es idempotente. Es decir, tomar iterativamente la intersección de un conjunto difuso consigo mismo no es trivial. En cambio, define la m -ésima potencia de un conjunto difuso, que se puede generalizar canónicamente para exponentes no enteros de la siguiente manera:
- Para cualquier conjunto difuso y el ν-ésimo poder de está definido por la función de pertenencia:
El caso del exponente dos es lo suficientemente especial como para recibir un nombre.
- Para cualquier conjunto difuso la concentración se define
Tomando , tenemos y
- Dados conjuntos difusos , la diferencia difusa del conjunto , también denotado , se puede definir directamente a través de la función de pertenencia:
- lo que significa , p.ej:
- [7]
- Otra propuesta para establecer una diferencia podría ser:
- [7]
- Dubois y Prade (1980) han hecho propuestas para diferencias simétricas de conjuntos difusos, ya sea tomando el valor absoluto , dando
- o usando una combinación de negación máxima , mínima y estándar, dando
- [7]
- Vemur et al. Han propuesto axiomas para la definición de diferencias simétricas generalizadas análogas a las de las t-normas, t-conormas y negadores. (2014) con predecesores de Alsina et. Alabama. (2005) y Bedregal et. Alabama. (2009). [7]
- A diferencia de los conjuntos nítidos, las operaciones de promediado también se pueden definir para conjuntos difusos.
Conjuntos difusos disjuntos
En contraste con la ambigüedad general de las operaciones de intersección y unión, hay claridad para conjuntos difusos disjuntos: dos conjuntos difusos son disjuntos si
que es equivalente a
- ∄ {\ Displaystyle \ nexists}
y también equivalente a
Tenemos en cuenta que min / max está en el par / s-norm, y cualquier otro también funcionará aquí.
Los conjuntos difusos son disjuntos si y solo si sus soportes están separados de acuerdo con la definición estándar de conjuntos nítidos.
Para conjuntos difusos inconexos cualquier intersección dará ∅, y cualquier unión dará el mismo resultado, que se denota como
con su función de membresía dada por
Tenga en cuenta que solo uno de ambos sumandos es mayor que cero.
Para conjuntos difusos inconexos lo siguiente es cierto:
Esto se puede generalizar a familias finitas de conjuntos difusos de la siguiente manera: Dada una familia de conjuntos difusos con conjunto de índices I (por ejemplo, I = {1,2,3, ..., n }). Esta familia es (por parejas) disjunta si
Una familia de conjuntos borrosos es inconexo, si la familia de apoyos subyacentes es inconexo en el sentido estándar de las familias de conjuntos nítidos.
Independientemente del par t / s-norma, la intersección de una familia disjunta de conjuntos difusos dará ∅ nuevamente, mientras que la unión no tiene ambigüedad:
con su función de membresía dada por
Nuevamente, solo uno de los sumandos es mayor que cero.
Para familias inconexas de conjuntos difusos lo siguiente es cierto:
Cardinalidad escalar
Para un conjunto difuso con soporte finito (es decir, un "conjunto difuso finito"), su cardinalidad (también conocida como cardinalidad escalar o cuenta sigma ) viene dada por
- .
En el caso de que U en sí mismo sea un conjunto finito, la cardinalidad relativa viene dada por
- .
Esto se puede generalizar para que el divisor sea un conjunto difuso no vacío: para conjuntos difusos con G ≠ ∅, podemos definir la cardinalidad relativa por:
- ,
que se parece mucho a la expresión de probabilidad condicional . Nota:
- aquí.
- El resultado puede depender de la intersección específica (t-norma) elegida.
- Para el resultado es inequívoco y se asemeja a la definición anterior.
Distancia y similitud
Para cualquier conjunto difuso la función de membresía puede ser considerado como una familia . Este último es un espacio métrico con varias métricas.conocido. Una métrica puede derivarse de una norma (norma vectorial) vía
- .
Por ejemplo, si es finito, es decir , dicha métrica puede definirse mediante:
- dónde y son secuencias de números reales entre 0 y 1.
Por infinito , el máximo puede ser reemplazado por un supremum. Debido a que los conjuntos difusos se definen de forma inequívoca por su función de pertenencia, esta métrica se puede utilizar para medir distancias entre conjuntos difusos en el mismo universo:
- ,
que se convierte en la muestra anterior:
De nuevo por infinito el máximo debe ser reemplazado por un supremum. Otras distancias (como la norma canónica 2) pueden divergir, si los conjuntos difusos infinitos son demasiado diferentes, por ejemplo, y .
Medidas de similitud (aquí denotadas por ) puede derivarse de la distancia, por ejemplo, después de una propuesta de Koczy:
- Si es finito, demás,
o después de Williams y Steele:
- Si es finito, demás
dónde es un parámetro de pendiente y . [6]
Otra definición para medidas de similitud valoradas en intervalos (más bien 'difusas') también es proporcionado por Beg y Ashraf. [6]
L -conjuntos difusos
A veces, se utilizan variantes más generales de la noción de conjunto difuso, con funciones de pertenencia que toman valores en una estructura o álgebra (fija o variable) de un tipo determinado; por lo general se requiere queser al menos un poset o celosía . Suelen denominarse conjuntos L- difusos , para distinguirlos de los valorados en el intervalo unitario. Las funciones de pertenencia habituales con valores en [0, 1] se denominan funciones de pertenencia valoradas en [0, 1]. Este tipo de generalizaciones fueron consideradas por primera vez en 1967 por Joseph Goguen , estudiante de Zadeh. [8] Un corolario clásico puede indicar la verdad y los valores de pertenencia mediante {f, t} en lugar de {0, 1}.
Atanassov y Baruah han proporcionado una extensión de conjuntos difusos . Un conjunto difuso intuicionista (IFS) se caracteriza por dos funciones:
- 1. - grado de pertenencia de x
- 2. - grado de no pertenencia a x
con funciones con
Esto se asemeja a una situación como la de una persona denotada por votación
- para una propuesta : (),
- En contra: (),
- o abstenerse de votar: ().
Después de todo, tenemos un porcentaje de aprobaciones, un porcentaje de denegaciones y un porcentaje de abstenciones.
Para esta situación, se pueden definir negadores especiales "intuitivos difusos", normas t y s. Con y combinando ambas funciones para esta situación se asemeja a un tipo especial de conjuntos L- difusos.
Una vez más, esto se ha ampliado definiendo conjuntos difusos de imagen (PFS) de la siguiente manera: Un PFS A se caracteriza por tres funciones que mapean U a [0, 1]:, "grado de membresía positiva", "grado de membresía neutral" y "grado de membresía negativa" respectivamente y condición adicional Esto amplía la muestra de votación anterior con una posibilidad adicional de "denegación de voto".
Con y negadores especiales de "imagen difusa", normas t y s, esto se asemeja a otro tipo de conjuntos L- difusos. [9] [10]
Conjuntos borrosos neutrosóficos
El concepto de IFS se ha ampliado a dos modelos principales. Las dos extensiones de IFS son conjuntos difusos neutrosóficos y conjuntos difusos pitagóricos. [11]
Los conjuntos neutrosóficos difusos fueron introducidos por Smarandache en 1998. [12] Al igual que IFS, los conjuntos neutrosóficos difusos tienen las dos funciones anteriores: una para la membresía y otro para no afiliación . La principal diferencia es que los conjuntos borrosos neutrosóficos tienen una función más: para indeterminados. Este valor indica el grado de indecisión de que la entidad x pertenece al conjunto. Este concepto de tener indeterminadovalue puede ser particularmente útil cuando no se puede confiar mucho en los valores de membresía o no membresía para el ítem x . [13] En resumen, los conjuntos difusos neutrosóficos están asociados con las siguientes funciones:
- 1. - grado de pertenencia de x
- 2. - grado de no pertenencia a x
- 3. - grado de valor indeterminado de x
Conjuntos difusos pitagóricos
La otra extensión de IFS es lo que se conoce como conjuntos difusos pitagóricos. Los conjuntos difusos pitagóricos son más flexibles que los IFS. Los IFS se basan en la restricción, lo que puede considerarse demasiado restrictivo en algunas ocasiones. Por eso Yager propuso el concepto de conjuntos borrosos pitagóricos. Tales conjuntos satisfacen la restricción, que recuerda al teorema de Pitágoras. [14] [15] [16] Los conjuntos difusos pitagóricos pueden aplicarse a aplicaciones de la vida real en las que la condición previa deno es válido. Sin embargo, la condición menos restrictiva depuede ser adecuado en más dominios. [11] [13]
Lógica difusa
Como extensión del caso de la lógica multivalor, las valoraciones () de variables proposicionales () en un conjunto de grados de membresía () se puede considerar como funciones de pertenencia que mapean predicados en conjuntos difusos (o más formalmente, en un conjunto ordenado de pares difusos, llamado relación difusa). Con estas valoraciones, la lógica de muchos valores se puede ampliar para permitir premisas difusas de las que se pueden extraer conclusiones graduadas. [17]
Esta extensión a veces se denomina "lógica difusa en el sentido estricto" en oposición a "lógica difusa en el sentido más amplio", que se originó en los campos de ingeniería del control automatizado y la ingeniería del conocimiento , y que abarca muchos temas que involucran conjuntos difusos y "razonamiento aproximado . " [18]
Las aplicaciones industriales de conjuntos difusos en el contexto de "lógica difusa en el sentido más amplio" se pueden encontrar en lógica difusa .
Número difuso y único número
Un número difuso es un conjunto difuso normalizado convexode números reales cuya función de pertenencia es al menos segmentariamente continua [ aclaración necesaria ] y tiene el valor funcionalal menos un elemento. [3] Debido a la convexidad asumida, el máximo (de 1) es
- ya sea un intervalo: intervalo difuso , su núcleo es un intervalo nítido (intervalo medio) con límite inferior
- y límite superior
- .
- o único: número difuso , su núcleo es un singleton ; la ubicación del máximo es
- ℩ C ( A ) = ℩ (donde ℩ se lee como ' el ');
- que asignará un número 'agudo' al número difuso, además de parámetros de difuminación como .
Los números borrosos se pueden comparar con el juego de feria "adivina tu peso", en el que alguien adivina el peso del concursante, siendo más correctas las suposiciones más cercanas, y donde el adivino "gana" si adivina lo suficientemente cerca del peso del participante, con el el peso real es completamente correcto (asignación a 1 por la función de pertenencia).
Un intervalo difuso es un conjunto difuso con un intervalo central, es decir, un intervalo medio cuyos elementos poseen el valor de la función de pertenencia . Esto último significa que los intervalos difusos son conjuntos difusos normalizados. Como en los números difusos, la función de pertenencia debe ser convexa, normalizada, al menos segmentariamente continua . [19] Al igual que los intervalos nítidos, los intervalos difusos pueden llegar al infinito. El kernel de un intervalo difuso se define como la parte 'interna', sin las partes 'salientes' donde el valor de pertenencia es constante ad infinitum. En otras palabras, el subconjunto más pequeño de dónde es constante fuera de él, se define como el kernel.
Sin embargo, existen otros conceptos de números e intervalos difusos ya que algunos autores no insisten en la convexidad.
Categorías difusas
El uso de la pertenencia a conjuntos como componente clave de la teoría de categorías se puede generalizar a conjuntos difusos. Este enfoque, que comenzó en 1968 poco después de la introducción de la teoría de conjuntos difusos, [20] condujo al desarrollo de categorías de Goguen en el siglo XXI. [21] [22] En estas categorías, en lugar de utilizar dos miembros de conjuntos valorados, se utilizan intervalos más generales y pueden ser retículas como en L -conjuntos difusos. [22] [23]
Ecuación de relación difusa
La ecuación de relación difusa es una ecuación de la forma A · R = B , donde A y B son conjuntos difusos, R es una relación difusa y A · R representa la composición de A con R [ cita requerida ] .
Entropía
Una medida d de borrosidad para conjuntos borrosos de universo debe cumplir las siguientes condiciones para todos :
- Si es un conjunto nítido:
- tiene un máximo único iff
- lo que significa que B es "más nítida" que A .
En este caso se llama la entropía del conjunto difuso A .
Para finito la entropía de un conjunto borroso es dado por
- ,
o solo
dónde es la función de Shannon (función de entropía natural)
y es una constante que depende de la unidad de medida y de la base logarítmica utilizada (aquí hemos utilizado la base natural e ). La interpretación física de k es la constante de Boltzmann k B .
Dejar ser un conjunto difuso con una función de pertenencia continua (variable difusa). Luego
y su entropía es
- [24] [25]
Extensiones
Hay muchas construcciones matemáticas similares o más generales que los conjuntos difusos. Desde que se introdujeron los conjuntos difusos en 1965, se han desarrollado muchas teorías y construcciones matemáticas nuevas que tratan la imprecisión, la inexactitud, la ambigüedad y la incertidumbre. Algunas de estas construcciones y teorías son extensiones de la teoría de conjuntos difusos, mientras que otras intentan modelar matemáticamente la imprecisión y la incertidumbre de una manera diferente ( Burgin y Chunihin 1997
; Kerre 2001 ; Deschrijver y Kerre, 2003).Ver también
- Teoría de conjuntos alternativa
- Defuzzificación
- Concepto difuso
- Matemáticas difusas
- Operaciones de conjuntos difusos
- Subálgebra difusa
- Elemento finito de intervalo
- Información parcial lineal
- Multiset
- Neuro-difuso
- Hibridación difusa aproximada
- Conjunto áspero
- Índice de similitud de Sørensen
- Conjuntos y sistemas difusos de tipo 2
- Incertidumbre
Referencias
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