Teoría de la medida difusa

En matemáticas , la teoría de la medida difusa considera medidas generalizadas en las que la propiedad aditiva se reemplaza por la propiedad más débil de monotonicidad. El concepto central de la teoría de la medida difusa es la medida difusa (también capacidad , véase ^[1] ) que Choquet introdujo en 1953 y Sugeno definió de forma independiente en 1974 en el contexto de las integrales difusas . Existe una serie de diferentes clases de medidas difusas que incluyen medidas de plausibilidad/creencia ; medidas de posibilidad/necesidad ; y medidas de probabilidad que son un subconjunto de las clásicasmedidas.

Sea un universo de discurso , sea una clase de subconjuntos de , y . Una función donde ${\ estilo de visualización \ mathbf {X}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {X}}$ $E,F\in {\mathcal {C}}$ $g:{\mathcal {C}}\to \mathbb {R}$

se llama medida difusa . Una medida difusa se llama normalizada o regular si . $g(\mathbf {X} )=1$

Comprender las propiedades de las medidas difusas es útil en la aplicación. Cuando se utiliza una medida difusa para definir una función como la integral de Sugeno o la integral de Choquet , estas propiedades serán cruciales para comprender el comportamiento de la función. Por ejemplo, la integral de Choquet con respecto a una medida difusa aditiva se reduce a la integral de Lebesgue . En casos discretos, una medida difusa simétrica dará como resultado el operador de promedio ponderado ordenado (OWA). Las medidas difusas submodulares dan como resultado funciones convexas, mientras que las medidas difusas supermodulares dan como resultado funciones cóncavas cuando se usan para definir una integral de Choquet.

Sea g una medida difusa, la representación de Möbius de g viene dada por la función de conjunto M , donde para cada , $E,F\subseteq X$

Una medida difusa en la representación de Möbius M se llama normalizada si $\sum _{E\subseteq \mathbf {X} }M(E)=1.$