En geometría diferencial , una variedad G 2 es una variedad Riemanniana de siete dimensiones con un grupo de holonomía contenido en G 2 . El grupo es uno de los cinco grupos de Lie simples excepcionales . Puede describirse como el grupo de automorfismo de los octoniones , o de manera equivalente, como un subgrupo propio del grupo ortogonal especial SO (7) que conserva un espinor en la representación de espinor de ocho dimensiones o, por último, como el subgrupo del grupo lineal general GL ( 7) que conserva la forma tridimensional no degenerada, la forma asociativa. El doble de Hodge ,es entonces una forma 4 paralela, la forma coasociativa. Estas formas son calibraciones en el sentido de Reese Harvey y H. Blaine Lawson , [1] y, por lo tanto, definen clases especiales de subvariedades de 3 y 4 dimensiones.
Propiedades
Todas -manifold son 7 dimensiones, Ricci-plana , orientables colectores de giro . Además, cualquier colector compacto con holonomía igual atiene un grupo fundamental finito , una primera clase Pontryagin distinta de cero y un tercer y cuarto números Betti distintos de cero .
Historia
El hecho de que El teorema de clasificación de Marcel Berger de 1955 sugirió por primera vez el teorema de clasificación de Marcel Berger de 1955 , y esto siguió siendo consistente con la demostración simplificada dada más tarde por Jim Simons en 1962. Aunque ni un solo ejemplo de tal variedad había aún descubierto, Edmond Bonan hizo una contribución útil al mostrar que, si tal variedad existiera de hecho, llevaría una forma paralela de 3 y una forma paralela de 4, y que necesariamente sería Ricci-flat. [2]
Los primeros ejemplos locales de siete variedades con holonomía fueron finalmente construidos alrededor de 1984 por Robert Bryant , y su prueba completa de su existencia apareció en los Anales en 1987. [3] A continuación, siete variedades completas (pero aún no compactas) con holonomíafueron construidos por Bryant y Simon Salamon en 1989. [4] Los primeros 7 colectores compactos con holonomíafueron construidos por Dominic Joyce en 1994. CompactoPor lo tanto, las variedades se conocen a veces como "variedades de Joyce", especialmente en la literatura de física. [5] En 2013, M. Firat Arikan, Hyunjoo Cho y Sema Salur demostraron que cualquier variedad con una estructura de espín y, por lo tanto, una-estructura, admite una estructura métrica de casi contacto compatible, y se construyó una estructura de casi contacto compatible explícita para colectores con -estructura. [6] En el mismo documento, se demostró que ciertas clases de-Los colectores admiten una estructura de contacto.
En 2015, una nueva construcción de compacto variedades, debido a Alessio Corti , Mark Haskins, Johannes Nordstrőm y Tommaso Pacini, combinaron una idea de pegado sugerida por Simon Donaldson con nuevas técnicas algebro-geométricas y analíticas para construir variedades Calabi-Yau con extremos cilíndricos, lo que resultó en decenas de miles de difeomorfismos tipos de nuevos ejemplos. [7]
Conexiones con la física
Estas variedades son importantes en la teoría de cuerdas . Rompen la supersimetría original a 1/8 de la cantidad original. Por ejemplo, la teoría M compactada en unmúltiple conduce a una teoría realista de cuatro dimensiones (11-7 = 4) con supersimetría N = 1. La supergravedad efectiva de baja energía resultante contiene un único supermultiplet de supergravedad , un número de supermultiplets quirales igual al tercer número de Betti delmúltiple y un número de supermultipletos vectoriales U (1) igual al segundo número de Betti. Recientemente se demostró que las estructuras casi de contacto (construidas por Sema Salur et al.) [6] juegan un papel importante engeometría ". [8]
Ver también
- Spin (7) colector
- Colector Calabi – Yau
Referencias
- ^ Harvey, Reese; Lawson, H. Blaine (1982), " Geometrías calibradas", Acta Mathematica , 148 : 47–157, doi : 10.1007 / BF02392726 , MR 0666108.
- ^ Bonan, Edmond (1966), "Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin (7)", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 262 : 127-129.
- ^ Bryant, Robert L. (1987), "Métricas con holonomía excepcional", Annals of Mathematics , 126 (2): 525–576, doi : 10.2307 / 1971360 , JSTOR 1971360.
- ^ Bryant, Robert L .; Salamon, Simon M. (1989), "Sobre la construcción de algunas métricas completas con una holonomía excepcional", Duke Mathematical Journal , 58 : 829–850, doi : 10.1215 / s0012-7094-89-05839-0 , MR 1016448.
- ^ Joyce, Dominic D. (2000), Manifolds compactos con holonomía especial , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press , ISBN 0-19-850601-5.
- ^ a b Arikan, M. Firat; Cho, Hyunjoo; Salur, Sema (2013), "Existencia de estructuras de contacto compatibles en-manifolds ", Asian Journal of Mathematics , 17 (2): 321–334, arXiv : 1112.2951 , doi : 10.4310 / AJM.2013.v17.n2.a3.
- ^ Corti, Alessio ; Haskins, Mark; Nordström, Johannes; Pacini, Tommaso (2015). "Colectores G2 y subvariedades asociativas vía semi-Fano 3-pliegues". Diario de matemáticas de Duke . 164 : 1971–2092.
- ^ de la Ossa, Xenia; Larfors, Magdalena; Magill, Matthew (2021). "Casi estructuras de contacto en colectores con estructura G2". arXiv : 2101.12605 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda )
Otras lecturas
- Becker, Katrin; Becker, Melanie; Schwarz, John H. (2007), "Manifolds with G 2 and Spin (7) holonomy", String Theory and M-Theory: A Modern Introduction , Cambridge University Press, págs. 433–455, ISBN 978-0-521-86069-7.
- Fernández, M .; Gray, A. (1982), "Variedades de Riemann con grupo de estructura G 2 ", Ann. Estera. Pura Appl. , 32 : 19–845, doi : 10.1007 / BF01760975.
- Karigiannis, Spiro (2011), "¿Qué es ... un colector G 2 ?" (PDF) , Avisos de AMS , 58 (04): 580–581.