Por ejemplo, en un espacio euclidiano tridimensional orientado, un plano orientado puede ser representado por el producto exterior de dos vectores base, y su dual de Hodge es el vector normal dado por su producto cruzado ; a la inversa, cualquier vector es dual al plano orientado perpendicular a él, dotado de un bivector adecuado. Generalizando esto a un espacio vectorial n- dimensional, la estrella de Hodge es un mapeo uno a uno de k -vectores a ( n - k ) -vectores; las dimensiones de estos espacios son los coeficientes binomiales.
La naturalidad de los medios de operador estrella que puede desempeñar un papel en la geometría diferencial, cuando se aplica a la cotangente haz de una variedad pseudoriemanniana , y por lo tanto a diferencia de k -formas . Esto permite la definición del codiferencial como el adjunto de Hodge de la derivada exterior , lo que lleva al operador de Laplace-de Rham . Esto generaliza el caso del espacio euclidiano tridimensional, en el que la divergencia de un campo vectorial puede realizarse como el opuesto codiferencial del operador de gradiente , y el operador de Laplace en una función es la divergencia de su gradiente. Una aplicación importante es la descomposición de Hodge de formas diferenciales en una variedad Riemanniana cerrada .
La unidad n -vectorse define en términos de una base ortonormal orientadade V como:
El operador de estrella de Hodge es un operador lineal en el álgebra exterior de V , mapeando k -vectores a ( n - k ) -vectores, para. Tiene la siguiente propiedad, que lo define completamente: [1] : 15
por cada par de k -vectores
Dually, en el espacio de n- formas (alternan n -funciones multilineales en), el dual a es la forma de volumen, la función cuyo valor en es el determinante de la matriz ensamblada a partir de los vectores columna de en -coordenadas.
Aplicando a la ecuación anterior, obtenemos la definición dual:
o equivalentemente, tomando , , y :
Esto significa que, escribir una base ortonormal de k -vectores como sobre todos los subconjuntos de , el dual de Hodge es el ( n - k ) -vector correspondiente al conjunto complementario:
Dado que la estrella de Hodge toma una base ortonormal a una base ortonormal, es una isometría en el álgebra exterior..
Explicación geométrica
La estrella de Hodge está motivada por la correspondencia entre un subespacio W de V y su subespacio ortogonal (con respecto al producto interno), donde cada espacio está dotado de una orientación y un factor de escala numérico. Específicamente, un vector k descomponible distinto de cerocorresponde por la incrustación de Plücker en el subespacio con base orientada , dotado de un factor de escala igual al k -volumen dimensional del paralelepípedo generado por esta base (igual al Gramian , el determinante de la matriz de productos internos). La estrella de Hodge que actúa sobre un vector descomponible se puede escribir como un vector descomponible ( n - k ):
dónde formar una base orientada del espacio ortogonal. Además, el ( n - k ) -volumen del-paralelepípedo debe ser igual al k -volumen del-paralelepípedo, y debe formar una base orientada de V .
Un vector k general es una combinación lineal de vectores k descomponibles , y la definición de la estrella de Hodge se extiende a los vectores k generales definiéndola como lineal.
Ejemplos de
Dos dimensiones
En dos dimensiones con la métrica euclidiana normalizada y la orientación dada por el orden ( x , y ) , la estrella de Hodge en las formas k viene dada por
En el plano complejo considerado como un espacio vectorial real con la forma sesquilínea estándar como métrica, la estrella Hodge tiene la propiedad notable de que es invariante bajo cambios holomórficos de coordenadas. Si z = x + iy es una función holomórfica de w = u + iv , entonces por las ecuaciones de Cauchy-Riemann tenemos que∂ x/∂ u = ∂ y/∂ v y ∂ y/∂ u = - ∂ x/∂ v. En las nuevas coordenadas
así que eso
probando la invariancia declarada.
Tres dimensiones
Un ejemplo común del operador de estrella de Hodge es el caso n = 3 , cuando se puede tomar como la correspondencia entre vectores y bivectores. Específicamente, para Euclidean R 3 con la basede formas uno a menudo utilizadas en el cálculo de vectores , uno encuentra que
La estrella de Hodge relaciona el producto exterior y cruzado en tres dimensiones: [2]
Aplicada a tres dimensiones, la estrella de Hodge proporciona un isomorfismo entre vectores axiales y bivectores , por lo que cada vector axial a está asociado con un bivector A y viceversa, es decir: [2]. La estrella de Hodge también se puede interpretar como una forma de correspondencia geométrica entre un eje y una rotación infinitesimal alrededor del eje, con una velocidad igual a la longitud del vector del eje. Un producto interno en un espacio vectorial.da un isomorfismo identificando con su espacio dual , y el espacio de todos los operadores linealeses naturalmente isomorfo al producto tensorial . Por lo tanto, para, el mapa de estrellas toma cada vector a un bivector , que corresponde a un operador lineal . Específicamente,es un operador sesgado-simétrico , que corresponde a una rotación infinitesimal : es decir, las rotaciones macroscópicas alrededor del ejeestán dados por la matriz exponencial . Con respecto a la base de , el tensor corresponde a una matriz de coordenadas con 1 en el fila y columna, etc., y la cuña es la matriz simétrica sesgada , etc. Es decir, podemos interpretar el operador estrella como:
Bajo esta correspondencia, el producto cruzado de los vectores corresponde al corchete de Lie del conmutador de los operadores lineales:.
Cuatro dimensiones
En el caso n = 4 , la estrella de Hodge actúa como un endomorfismo de la segunda potencia exterior (es decir, mapea 2 formas a 2 formas, ya que 4 - 2 = 2 ). Si la firma del tensor métrico es toda positiva, es decir, en una variedad de Riemann , entonces la estrella de Hodge es una involución ; si la firma es mixta, la aplicación dos veces devolverá el argumento a un signo - ver § Dualidad a continuación. Por ejemplo, en el espacio-tiempo de Minkowski donde n = 4 con firma métrica (+ - - -) y coordenadas ( t , x , y , z ) donde (usando):
para una forma mientras
para 2 formas . Debido a que sus determinantes son los mismos tanto en (+ - - -) como en (- + + +) , los signos de los duales de 2 formas del espacio de Minkowski dependen solo de la orientación elegida. [ verificación necesaria ]
Una regla fácil de recordar para las operaciones de Hodge anteriores es que, dada una forma , es Hodge dual puede obtenerse escribiendo los componentes no involucrados en en un orden tal que . [ verificación necesaria ] Solo se introducirá un signo menos adicional si no contiene . (La última convención se deriva de la elección (+ - - -) para la firma métrica. Para (- + + +) , se pone un signo menos solo si involucra .)
Invariancia conforme
La estrella de Hodge es conforme invariante en n formas en un espacio vectorial de 2n dimensión V, es decir, si es una métrica en y , luego las estrellas de Hodge inducidas
son lo mismo.
Ejemplo: derivadas en tres dimensiones
La combinación del operador y la derivada exterior d genera los operadores clásicos grad , curl y div en campos vectoriales en el espacio euclidiano tridimensional. Esto funciona de la siguiente manera: d toma una forma 0 (una función) a una forma 1, una forma 1 a una forma 2 y una forma 2 a una forma 3 (y toma una forma 3 para cero). Para una forma 0, el primer caso escrito en componentes da:
El producto interno identifica formularios 1 con campos vectoriales como, etc., para que se convierte en .
En el segundo caso, un campo vectorial corresponde a la forma 1 , que tiene derivada exterior:
Al aplicar la estrella de Hodge se obtiene la forma 1:
que se convierte en el campo vectorial .
En el tercer caso, nuevamente corresponde a . Aplicando la estrella de Hodge, la derivada exterior y la estrella de Hodge nuevamente:
Una ventaja de esta expresión es que la identidad d 2 = 0 , que es cierta en todos los casos, suma otras dos, a saber, curl grad f = 0 y div curl F = 0 . En particular, las ecuaciones de Maxwell adquieren una forma particularmente simple y elegante, cuando se expresan en términos de la derivada exterior y la estrella de Hodge. La expresionse llama codiferencial ; se define con total generalidad, para cualquier dimensión, más adelante en el artículo siguiente.
También se puede obtener el Laplaciano Δ f = div grad f en términos de las operaciones anteriores:
El laplaciano también puede verse como un caso especial del operador más general de Laplace-deRham dónde es el codiferencial para -formas. Cualquier función es una forma 0, y y así esto se reduce al laplaciano ordinario. Para la forma 1 arriba, el codiferencial es y después de algunos plug and chug , uno obtiene el Laplacian actuando en.
Dualidad
La aplicación de la estrella de Hodge dos veces deja un k -vector sin cambios excepto por su signo: poren un espacio n -dimensional V , uno tiene
donde s es la paridad de la firma del producto interno en V , es decir, el signo del determinante de la matriz del producto interno con respecto a cualquier base. Por ejemplo, si n = 4 y la firma del producto interno es (+ - - -) o (- + + +) entonces s = −1 . Para las variedades de Riemann (incluidos los espacios euclidianos), siempre tenemos s = 1 .
La identidad anterior implica que la inversa de se puede dar como
Si n es impar, entonces k ( n - k ) es par para cualquier k , mientras que si n es par, entonces k ( n - k ) tiene la paridad de k . Por lo tanto:
donde k es el grado del elemento sobre el que se opera.
En colectores
Para una variedad pseudo-Riemanniana orientada n- dimensionalmente M , aplicamos la construcción anterior a cada espacio cotangente y sus poderes exteriores , y por lo tanto a las formas k diferenciales , las secciones globales del paquete . La métrica de Riemann induce un producto interno en en cada punto . Definimos el dual de Hodge de una forma k, definiendo como la forma única ( n - k ) que satisface
para cada forma k, dónde es una función de valor real en , y la forma de volumen es inducida por la métrica de Riemann. Integrando esta ecuación sobre, el lado derecho se convierte en el ( cuadrado integrable ) producto interno en k- formas , y obtenemos:
De manera más general, si no está orientada, se puede definir la estrella de Hodge de una forma k como una ( n - k ) - forma pseudo diferencial ; es decir, una forma diferencial con valores en el paquete de líneas canónicas .
Cálculo en notación de índice
Calculamos en términos de notación de índice tensorial con respecto a una base (no necesariamente ortonormal) en un espacio tangente y su base dual en , teniendo la matriz métrica y su matriz inversa . El dual de Hodge de una forma k descomponible es:
Aquí es el símbolo de Levi-Civita con, e implícitamente tomamos la suma de todos los valores de los índices repetidos. El factorial representa la doble contabilización y no está presente si los índices de suma están restringidos de modo que . El valor absoluto del determinante es necesario ya que puede ser negativo, como para los espacios tangentes a las variedades de Lorentz .
Se puede escribir una forma diferencial arbitraria:
El factorial se incluye nuevamente para tener en cuenta el doble conteo cuando permitimos índices que no aumentan. Nos gustaría definir el dual del componente. de modo que el dual de Hodge de la forma viene dado por
Usando la expresión anterior para el dual de Hodge de , encontramos: [3]
Aunque se puede aplicar esta expresión a cualquier tensor , el resultado es antisimétrico, ya que la contracción con el símbolo Levi-Civita completamente antisimétrico cancela todo menos la parte totalmente antisimétrica del tensor. Por lo tanto, es equivalente a la antisimetrización seguida de la aplicación de la estrella de Hodge.
La forma de volumen unitario es dado por:
Codiferencial
La aplicación más importante de la estrella de Hodge en las variedades es definir la codiferencialen formas k . Dejar
dónde es la derivada o diferencial exterior , ypara variedades de Riemann. Luego
tiempo
El codiferencial no es una antiderivación en el álgebra exterior, en contraste con la derivada exterior.
El codiferencial es el adjunto de la derivada exterior con respecto al producto interior cuadrado integrable:
dónde es una forma ( k + 1) yuna forma k . Esta identidad se sigue del teorema de Stokes para formas suaves:
siempre que M tenga un límite vacío, o o tiene valores de límite cero. (La correcta definición de lo anterior requiere especificar un espacio vectorial topológico que sea cerrado y completo sobre el espacio de formas lisas. El espacio de Sobolev se usa convencionalmente; permite la convergencia de una secuencia de formas (como ) para ser intercambiado con las operaciones combinadas diferencial e integral, de modo que e igualmente para las secuencias que convergen a .)
Dado que el diferencial satisface , el codiferencial tiene la propiedad correspondiente
El operador de Laplace-deRham viene dado por
y se encuentra en el corazón de la teoría de Hodge . Es simétrico:
y no negativo:
La estrella de Hodge envía formas armónicas a formas armónicas. Como consecuencia de la teoría de Hodge , la cohomología de De Rham es naturalmente isomórfica al espacio de las formas k armónicas , por lo que la estrella de Hodge induce un isomorfismo de los grupos de cohomología.
que a su vez da identificaciones canónicas a través de la dualidad de Poincaré de H k ( M ) con su espacio dual .
Citas
^ a b Harley Flanders (1963) Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas , Academic Press
↑ a b Pertti Lounesto (2001). "§3.6 El dual de Hodge" . Álgebras y espinores de Clifford, volumen 286 de la serie de notas de conferencia de la London Mathematical Society(2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 39. ISBN 0-521-00551-5.
^Frankel, T. (2012). La geometría de la física (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-60260-1.
Referencias
David Bleecker (1981) Teoría de la galga y principios de variación . Addison-Wesley Publishing. ISBN 0-201-10096-7 . Cap. 0 contiene una revisión condensada de la geometría diferencial no riemanniana.
Jost, Jürgen (2002). Geometría Riemanniana y Análisis Geométrico . Springer-Verlag . ISBN 3-540-42627-2.
Charles W. Misner , Kip S. Thorne , John Archibald Wheeler (1970) Gravitación . WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0 . Una revisión básica de la geometría diferencial en el caso especial del espaciotiempo tetradimensional .
Steven Rosenberg (1997) El laplaciano en una variedad riemanniana . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-46831-0 . Introducción a la ecuación del calor y el teorema de Atiyah-Singer .
Tevian Dray (1999) El operador dual de Hodge . Una descripción completa de la definición y las propiedades del operador estrella de Hodge.