En matemáticas , las clases Pontryagin , que llevan el nombre de Lev Pontryagin , son ciertas clases características de paquetes de vectores reales. Las clases de Pontryagin se encuentran en grupos de cohomología con grados un múltiplo de cuatro.
Definición
Dado un paquete de vectores real E sobre M , su k -ésima clase Pontryagin Se define como
dónde:
- denota el -a clase Chern de la complexificación de E ,
- es el - grupo de cohomología de M con coeficientes enteros .
La clase Pontryagin racional se define como la imagen de en , la -grupo de cohomología de M con coeficientes racionales .
Propiedades
La clase Pontryagin total
es (módulo 2-torsión) multiplicativo con respecto a la suma de Whitney de paquetes de vectores, es decir,
Vector para dos manojos E y F sobre M . En términos de las clases individuales de Pontryagin p k ,
y así.
La desaparición de las clases Pontryagin y las clases Stiefel-Whitney de un paquete de vectores no garantiza que el paquete de vectores sea trivial. Por ejemplo, hasta el isomorfismo del paquete de vectores , existe un paquete de vectores de rango 10 no trivial únicosobre las 9 esferas . (La función de embrague parasurge del grupo de homotopía .) Las clases Pontryagin y las clases Stiefel-Whitney desaparecen: las clases Pontryagin no existen en el grado 9, y la clase Stiefel-Whitney w 9 de E 10 desaparece por la fórmula de Wu w 9 = w 1 w 8 + Sq 1 ( w 8 ). Además, este paquete de vectores es establemente no trivial, es decir, la suma de Whitney de E 10 con cualquier paquete trivial sigue siendo no trivial. ( Hatcher 2009 , pág.76)
Dado un paquete de vectores E de 2 k dimensiones , tenemos
donde e ( E ) denota la clase Euler de E , ydenota el producto de taza de las clases de cohomología.
Clases de Pontryagin y curvatura
Como demostraron Shiing-Shen Chern y André Weil alrededor de 1948, las clases racionales de Pontryagin
pueden presentarse como formas diferenciales que dependen polinomialmente de la forma de curvatura de un paquete de vectores. Esta teoría de Chern-Weil reveló una conexión importante entre la topología algebraica y la geometría diferencial global.
Para un paquete vectorial E sobre una variedad diferenciable n- dimensional M equipada con una conexión , la clase Pontryagin total se expresa como
donde Ω denota la forma de curvatura , y H * dR ( M ) denota los grupos de cohomología de De Rham . [ cita requerida ]
Clases de Pontryagin de una variedad
Las clases Pontryagin de una variedad suave se definen como las clases Pontryagin de su paquete tangente .
Novikov demostró en 1966 que si dos variedades compactas, orientadas y suaves son homeomórficas, entonces sus clases pontryagin racionales p k ( M , Q ) en H 4 k ( M , Q ) son las mismas.
Si la dimensión es al menos cinco, hay como mucho un número finito de variedades suaves diferentes con un tipo de homotopía y clases de Pontryagin dados .
Clases de Pontryagin de las clases de Chern
Las clases de Pontryagin de un paquete de vectores complejo puede ser completamente determinado por sus clases de Chern. Esto se sigue del hecho de que, la fórmula de la suma de Whitney y las propiedades de las clases de Chern de su paquete conjugado complejo. Es decir, y . Entonces, esto dada la relación
por ejemplo, podemos aplicar esta fórmula para encontrar las clases Pontryagin de un paquete de vectores en una curva y una superficie. Para una curva, tenemos
por lo que todas las clases de Pontryagin de paquetes de vectores complejos son triviales. En una superficie, tenemos
demostración . Paquetes en línea, esto se simplifica aún más, ya que por razones de dimensión.
Clases de Pontryagin en una superficie Quartic K3
Recuerde que un polinomio cuartico cuyo lugar de fuga en es una subvariedad suave es una superficie K3. Si usamos la secuencia normal
podemos encontrar
demostración y . Desde corresponde a cuatro puntos, debido al lema de Bezout, tenemos el segundo número chern como . Desde en este caso, tenemos
. Este número se puede utilizar para calcular el tercer grupo de esferas de homotopía estable. [2]
Números de Pontryagin
Los números de Pontryagin son ciertos invariantes topológicos de una variedad suave . Cada número de Pontryagin de una variedad M desaparece si la dimensión de M no es divisible por 4. Se define en términos de las clases de Pontryagin de la variedad M de la siguiente manera:
Dado un suave -variedad de dimensiones M y una colección de números naturales
- tal que ,
el número de Pontryagin es definido por
dónde denota el k -ésimo clase Pontryagin y [ M ] la clase fundamental de M .
Propiedades
- Los números de Pontryagin son invariantes de cobordismo orientado ; y junto con los números de Stiefel-Whitney , determinan la clase de cobordismo orientado de una variedad orientada.
- Los números Pontryagin de variedades riemannianas cerradas (así como clases Pontryagin) se pueden calcular como integrales de ciertos polinomios a partir del tensor de curvatura de una variedad Riemanniana.
- Invariantes como la firma y-género se puede expresar a través de números Pontryagin. Para el teorema que describe la combinación lineal de números de Pontryagin que dan la firma, consulte el teorema de la firma de Hirzebruch .
Generalizaciones
También hay una clase Pontryagin cuaterniónica , para paquetes de vectores con estructura de cuaterniones .
Ver también
- Forma de Chern-Simons
- Teorema de la firma de Hirzebruch
Referencias
- ^ Mclean, Mark. "Clases de Pontryagin" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 8 de noviembre de 2016.
- ^ "Una encuesta de cálculos de grupos de homotopía de esferas y cobordismos" (PDF) . pag. 16. Archivado (PDF) desde el original el 22 de enero de 2016.
- Milnor John W .; Stasheff, James D. (1974). Clases características . Anales de estudios matemáticos . Princeton, Nueva Jersey; Tokio: Prensa de la Universidad de Princeton / Prensa de la Universidad de Tokio. ISBN 0-691-08122-0.
- Hatcher, Allen (2009). "Paquetes de vectores y teoría K" (2.1 ed.). Cite journal requiere
|journal=
( ayuda )
enlaces externos
- "Clase Pontryagin" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]