Estructura G2

En geometría diferencial , una estructura es un tipo importante de estructura G que se puede definir en una variedad suave . Si M es un colector liso de dimensión siete, entonces una estructura G ₂ es una reducción del grupo de estructura del haz de marcos de M al grupo de Lie compacto y excepcional G ₂ . ${\ Displaystyle G_ {2}}$

La condición de M admitir una estructura es equivalente a cualquiera de las siguientes condiciones: ${\ Displaystyle G_ {2}}$

La última condición anterior sugiere correctamente que muchas variedades admiten estructuras. ${\ Displaystyle G_ {2}}$

Edmond Bonan introdujo por primera vez una variedad con holonomía en 1966, quien construyó la forma paralela de 3, la forma paralela de 4 y demostró que esta variedad era plana de Ricci. ^[1] Las primeras variedades 7 completas, pero no compactas con holonomía fueron construidas por Robert Bryant y Salamon en 1989. ^[2] Las primeras variedades 7 compactas con holonomía fueron construidas por Dominic Joyce en 1994, y las variedades compactas a veces se conocen como "Variedades de Joyce", especialmente en la literatura de física. ^[3] En 2013, M. Firat Arikan, Hyunjoo Cho y Sema Salur demostraron que cualquier variedad con estructura de espín ${\ Displaystyle G_ {2}}$ ${\ Displaystyle G_ {2}}$ ${\ Displaystyle G_ {2}}$ ${\ Displaystyle G_ {2}}$ , y, por lo tanto, una -estructura, admite una estructura métrica de casi contacto compatible, y se construyó una estructura de casi contacto compatible explícita para múltiples con estructura-. ^[4] En el mismo artículo, se demostró que ciertas clases de colectores -admiten una estructura de contacto . ${\ Displaystyle G_ {2}}$ ${\ Displaystyle G_ {2}}$ ${\ Displaystyle G_ {2}}$

La propiedad de ser un múltiple es mucho más fuerte que la de admitir una estructura. De hecho, un colector es un colector con una estructura libre de torsión . ${\ Displaystyle G_ {2}}$ ${\ Displaystyle G_ {2}}$ ${\ Displaystyle G_ {2}}$ ${\ Displaystyle G_ {2}}$

La letra "G" que aparece en las frases "estructura G" y " estructura" se refiere a cosas diferentes. En el primer caso, las estructuras G toman su nombre del hecho de que los grupos de Lie arbitrarios se denotan típicamente con la letra "G". Por otro lado, la letra "G" en " " proviene del hecho de que su álgebra de Lie es el séptimo tipo (siendo "G" la séptima letra del alfabeto) en la clasificación de álgebras de Lie simples complejas de Élie Cartan . ${\ Displaystyle G_ {2}}$ ${\ Displaystyle G_ {2}}$