Transformaciones covariantes generales

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En física , las transformaciones covariantes generales son simetrías de la teoría de la gravitación en una variedad mundial . Son transformaciones de gauge cuyas funciones parámetro son campos vectoriales sobre . Desde el punto de vista físico, las transformaciones covariantes generales se tratan como transformaciones particulares ( holonómicas ) del marco de referencia en la relatividad general . En matemáticas , las transformaciones covariantes generales se definen como automorfismos particulares de los llamados haces de fibras naturales . ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Definición matemática

Sea una variedad con fibras con coordenadas locales con fibras . Todo automorfismo de se proyecta sobre un difeomorfismo de su base . Sin embargo, lo contrario no es cierto. Un difeomorfismo de necesidad no da lugar a un automorfismo de .${\displaystyle \pi :Y\to X}$${\displaystyle (x^{\lambda },y^{i})\,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

En particular, un generador infinitesimal de un grupo de automorfismos de Lie de un parámetro es un campo vectorial proyectable${\displaystyle Y}$

${\displaystyle u=u^{\lambda }(x^{\mu })\partial _{\lambda }+u^{i}(x^{\mu },y^{j})\partial _{i}}$

en . Este campo vectorial se proyecta sobre un campo vectorial en , cuyo flujo es un grupo de difeomorfismos de un parámetro de . Por el contrario, sea ​​un campo vectorial activado . Existe el problema de construir su sustentación en un campo vectorial proyectable sobre proyectado . Este impulso siempre existe, pero no tiene por qué ser canónico. Dada una conexión en , cada campo vectorial en da lugar al campo vectorial horizontal${\displaystyle Y}$${\displaystyle \tau =u^{\lambda }\partial _{\lambda }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau =\tau ^{\lambda }\partial _{\lambda }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma \tau =\tau ^{\lambda }(\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{i}\partial _{i})}$

en . Esta elevación horizontal produce un monomorfismo del módulo-de campos vectoriales en el módulo-de campos vectoriales en , pero este monomorfismo no es un morfismo del álgebra de Lie, a menos que sea ​​plano.${\displaystyle Y}$${\displaystyle \tau \to \Gamma \tau }$${\displaystyle C^{\infty }(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{\infty }(Y)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Gamma }$

Sin embargo, hay una categoría de campos naturales antes mencionados que no admiten el ascensor funtorial en cualquier campo vectorial de tal manera que es un álgebra de Lie monomorphism${\displaystyle T\to X}$${\displaystyle {\widetilde {\tau }}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau \to {\widetilde {\tau }}}$

${\displaystyle [{\widetilde {\tau }},{\widetilde {\tau }}']={\widetilde {[\tau ,\tau ']}}.}$

Esta elevación functorial es una transformación covariante general infinitesimal de .${\displaystyle {\widetilde {\tau }}}$${\displaystyle T}$

En un contexto general, se considera un monomorfismo de un grupo de difeomorfismos de a un grupo de automorfismos de haz de un haz natural . Los automorfismos se denominan transformaciones covariantes generales de . Por ejemplo, ningún automorfismo vertical de es una transformación covariante general.${\displaystyle f\to {\widetilde {f}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T\to X}$${\displaystyle {\widetilde {f}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

Los haces naturales se ejemplifican con los haces de tensores . Por ejemplo, el paquete tangente de es un paquete natural. Todo difeomorfismo de da lugar al automorfismo tangente del cual es una transformación covariante general de . Con respecto a las coordenadas holonómicas en , esta transformación se lee${\displaystyle TX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\widetilde {f}}=Tf}$${\displaystyle TX}$${\displaystyle TX}$${\displaystyle (x^{\lambda },{\dot {x}}^{\lambda })}$${\displaystyle TX}$

${\displaystyle {\dot {x}}'^{\mu }={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}{\dot {x}}^{\nu }.}$

Un paquete de cuadros de cuadros tangentes lineales también es un paquete natural. Las transformaciones covariantes generales constituyen un subgrupo de automorfismos holonómicos de . Todos los paquetes asociados con un paquete de marcos son naturales. Sin embargo, hay paquetes naturales que no están asociados con .${\displaystyle FX}$${\displaystyle TX}$${\displaystyle FX}$${\displaystyle FX}$

Ver también

• Covarianza general
• Teoría de la gravitación del calibre
• Colector de fibra

Referencias

• Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Operaciones naturales en geometría diferencial. Springer-Verlag: Berlín Heidelberg, 1993. ISBN  3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 . 
• Sardanashntly, G. , Geometría diferencial avanzada para teóricos. Haz de fibras, colectores de chorro y teoría lagrangiana, Lambert Academic Publishing: Saarbrücken, 2013. ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv : 0908.1886 
• Saunders, DJ (1989), The geometry of jet bundles , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7