En matemáticas , la distribución de Gauss-Kuzmin es una distribución de probabilidad discreta que surge como la distribución de probabilidad límite de los coeficientes en la expansión fraccionaria continua de una variable aleatoria distribuida uniformemente en (0, 1). [4] La distribución lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss , quien la derivó alrededor de 1800, [5] y Rodion Kuzmin , quien dio un límite a la tasa de convergencia en 1929. [6] [7] Está dada por la masa de probabilidad función
Parámetros | (ninguno) | ||
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CDF | |||
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Mediana | |||
Modo | |||
Diferencia | |||
Oblicuidad | (no definida) | ||
Ex. curtosis | (no definida) | ||
Entropía | 3.432527514776 ... [1] [2] [3] |
Teorema de Gauss-Kuzmin
Dejar
ser la expansión fraccionaria continua de un número aleatorio x distribuido uniformemente en (0, 1). Luego
Equivalentemente, dejemos
luego
tiende a cero cuando n tiende a infinito.
Tasa de convergencia
En 1928, Kuzmin dio el salto
En 1929, Paul Lévy [8] lo mejoró para
Más tarde, Eduard Wirsing mostró [9] que, para λ = 0.30366 ... (la constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing ), el límite
existe para cada s en [0, 1], y la función Ψ ( s ) es analítica y satisface Ψ (0) = Ψ (1) = 0. KIBabenko demostró más límites . [10]
Ver también
Referencias
- ^ Blachman, N. (1984). "La fracción continua como fuente de información (Corresp.)". Transacciones IEEE sobre teoría de la información . 30 (4): 671–674. doi : 10.1109 / TIT.1984.1056924 .
- ^ Kornerup, Peter; Matula, David W. (julio de 1995). LCF: Representación binaria lexicográfica de los racionales . Revista de Ciencias de la Computación Universal . 1 . págs. 484–503. CiteSeerX 10.1.1.108.5117 . doi : 10.1007 / 978-3-642-80350-5_41 . ISBN 978-3-642-80352-9.
- ^ Vepstas, L. (2008), Entropía de fracciones continuas (Entropía de Gauss-Kuzmin) (PDF)
- ^ Weisstein, Eric W. "Distribución de Gauss-Kuzmin" . MathWorld .
- ^ Gauss, Johann Carl Friedrich . Werke Sammlung . 10/1 . págs. 552–556.
- ^ Kuzmin, RO (1928). "Sobre un problema de Gauss". Dokl. Akad. Nauk SSSR : 375–380.
- ^ Kuzmin, RO (1932). "Sobre un problema de Gauss". Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Bolonia . 6 : 83–89.
- ^ Lévy, P. (1929). "Sur les lois de probabilité no dépendant les quotients complets et incomplets d'une fracción continúan" . Bulletin de la Société Mathématique de France . 57 : 178-194. doi : 10.24033 / bsmf.1150 . JFM 55.0916.02 .
- ^ Wirsing, E. (1974). "Sobre el teorema de Gauss-Kusmin-Lévy y un teorema de tipo Frobenius para espacios funcionales" . Acta Arithmetica . 24 (5): 507–528. doi : 10.4064 / aa-24-5-507-528 .
- ^ Babenko, KI (1978). "Sobre un problema de Gauss". Matemáticas soviéticas. Dokl . 19 : 136–140.