En teoría de números , Aleksandr Yakovlevich Khinchin demostró que para casi todos los números reales x , los coeficientes a i de la expansión fraccionaria continua de x tienen una media geométrica finita que es independiente del valor de x y se conoce como constante de Khinchin .
Es decir, para
es casi siempre cierto que
dónde es la constante de Khinchin
(con que denota el producto sobre todos los términos de la secuencia ).
Aunque casi todos los números satisfacen esta propiedad, no se ha probado para ningún número real que no se haya construido específicamente para ese propósito. Entre los números x cuyas expansiones de fracciones continuas se sabe que no tienen esta propiedad están los números racionales , las raíces de las ecuaciones cuadráticas (incluida la proporción áurea Φ y las raíces cuadradas de los enteros) y la base del logaritmo natural e .
Khinchin a veces se escribe Khintchine (la transliteración francesa del ruso Хинчин) en la literatura matemática más antigua.
Boceto de prueba
La prueba presentada aquí fue arreglada por Czesław Ryll-Nardzewski [1] y es mucho más simple que la prueba original de Khinchin que no utilizó la teoría ergódica .
Dado que el primer coeficiente a 0 de la fracción continua de x no juega ningún papel en el teorema de Khinchin y dado que los números racionales tienen la medida de Lebesgue cero, nos vemos reducidos al estudio de los números irracionales en el intervalo unitario , es decir, aquellos en. Estos números están en biyección con infinitas fracciones continuas de la forma [0; a 1 , a 2 , ...], que simplemente escribimos [ a 1 , a 2 , ...], donde a 1 , a 2 , ... son números enteros positivos . Defina una transformación T : I → I por
La transformación T se denomina operador Gauss-Kuzmin-Wirsing . Para cada subconjunto de Borel E de I , también definimos la medida de Gauss-Kuzmin de E
Entonces μ es una medida de probabilidad en el σ -álgebra de los subconjuntos de I de Borel . La medida μ es equivalente a la medida de Lebesgue en I , pero tiene la propiedad adicional de que la transformación T conserva la medida μ . Además, se puede probar que T es una transformación ergódica del espacio medible I dotado de la medida de probabilidad μ (esta es la parte difícil de la demostración). El teorema ergódico dice entonces que para cualquier μ - función integrable f en I , el valor promedio de es igual para casi todos :
Aplicando esto a la función definida por f ([ a 1 , a 2 , ...]) = log ( a 1 ), obtenemos que
para casi todo [ a 1 , a 2 , ...] en I como n → ∞.
Tomando la exponencial en ambos lados, obtenemos a la izquierda la media geométrica de los primeros n coeficientes de la fracción continua y a la derecha la constante de Khinchin.
Expresiones en serie
La constante de Khinchin se puede expresar como una serie zeta racional en la forma [2]
o, quitando términos de la serie,
donde N es un número entero, mantenido fijo, y ζ ( s , n ) es la función zeta compleja de Hurwitz . Ambas series son fuertemente convergentes, ya que ζ ( n ) - 1 se acerca a cero rápidamente para n grandes . También se puede dar una expansión en términos del dilogaritmo :
Hölder significa
La constante de Khinchin puede verse como la primera de una serie de medias de Hölder de los términos de las fracciones continuas. Dada una serie arbitraria { a n }, la media de Hölder de orden p de la serie está dada por
Cuando { a n } son los términos de una expansión fraccionaria continua, las constantes están dadas por
Esto se obtiene tomando la p -ésima media junto con la distribución de Gauss-Kuzmin . Se puede demostrar que el valor de K 0 se obtiene en el límite de p → 0.
Significado armonico
Por medio de las expresiones anteriores, también se puede obtener la media armónica de los términos de una fracción continua. El valor obtenido es
Problemas abiertos
- π , la constante de Euler-Mascheroni γ y la propia constante de Khinchin, según la evidencia numérica, [3] [4] se cree que están entre los números cuya media geométrica de los coeficientes a i en su expansión fraccionaria continua tiende a la constante de Khinchin. Sin embargo, ninguno de estos límites se ha establecido de forma rigurosa.
- No se sabe si la constante de Khinchin es un número racional, algebraico irracional o trascendental . [5]
Ver también
- Teorema de Lochs
- La constante de Lévy
- Lista de constantes matemáticas
Referencias
- ^ Ryll-Nardzewski, Czesław (1951), "Sobre los teoremas ergódicos II (teoría ergódica de fracciones continuas)", Studia Mathematica , 12 : 74–79
- ^ Bailey, Borwein & Crandall, 1997. En ese artículo, se utiliza una definición ligeramente no estándar para la función zeta de Hurwitz.
- ^ Weisstein, Eric W. "Fracción continua constante de Euler-Mascheroni" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 23 de marzo de 2020 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Fracción continua de Pi" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 23 de marzo de 2020 .
- ^ Weisstein, Eric W. "La constante de Khinchin" . MathWorld .
- David H. Bailey; Jonathan M. Borwein; Richard E. Crandall (1995). "Sobre la constante de Khinchine" (PDF) . doi : 10.1090 / s0025-5718-97-00800-4 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda )
- Jonathan M. Borwein; David M. Bradley; Richard E. Crandall (2000). "Estrategias computacionales para la función Zeta de Riemann" (PDF) . J. Comp. App. Matemáticas . 121 : 11. doi : 10.1016 / s0377-0427 (00) 00336-8 .
- Thomas Wieting. "Una secuencia de Khinchin" . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda )
- Aleksandr Ya. Khinchin (1997). Fracciones continuas . Nueva York: Publicaciones de Dover.
enlaces externos
- 110.000 dígitos de la constante de Khinchin
- 10,000 dígitos de la constante de Khinchin