Producto Whitehead generalizado
El producto Whitehead es una construcción matemática introducida en Whitehead (1941) . Ha sido una herramienta útil para determinar las propiedades de los espacios. La noción matemática de espacio incluye todas las formas que existen en nuestro mundo tridimensional, como curvas, superficies y figuras sólidas. Dado que los espacios a menudo se presentan mediante fórmulas, generalmente no es posible determinar visualmente sus propiedades geométricas. Algunas de estas propiedades son la conectividad (es el espacio en una o varias piezas), el número de agujeros que tiene el espacio, el nudo del espacio, etc. Luego se estudian los espacios asignándoles construcciones algebraicas. Esto es similar a lo que se hace en la geometría analítica de la escuela secundaria .por lo que a determinadas curvas del plano (objetos geométricos) se les asignan ecuaciones (construcciones algebraicas). Las construcciones algebraicas más comunes son los grupos . Estos son conjuntos tales que dos miembros cualesquiera del conjunto se pueden combinar para producir un tercer miembro del conjunto (sujeto a ciertas restricciones). En la teoría de la homotopía , uno asigna un grupo a cada espacio X y un entero positivo p llamado p-ésimo grupo de homotopía de X. Estos grupos han sido estudiados extensamente y dan información sobre las propiedades del espacio X. Luego hay operaciones entre estos grupos (el Producto Whitehead) que aportan información adicional sobre los espacios. Esto ha sido muy importante en el estudio de grupos de homotopía.
Varias generalizaciones del producto de Whitehead aparecen en ( Blakers, Massey y (1953) ) y en otros lugares, pero la de mayor alcance trata de conjuntos de homotopía, es decir, clases de mapas de homotopía de un espacio a otro. El producto Whitehead generalizado asigna a un elemento α en el conjunto de homotopía [ΣA, X] y un elemento β en el conjunto de homotopía [ΣB, X], un elemento [α, β] en el conjunto de homotopía [Σ (A ∧ B) , X], donde A, B y X son espacios, Σ es la suspensión (topología) y ∧ es el producto de rotura . Esto fue introducido por Cohen (1957) y Hilton (1965) y posteriormente estudiado en detalle por Arkowitz (1962) , (ver también Baues (1989), pags. 157). Es una generalización del producto Whitehead y proporciona una técnica útil en la investigación de conjuntos de homotopía.
Sea y y considere elementos y , dónde y son las clases de homotopía de los mapas de proyección. El conmutador
![{\ Displaystyle \ alpha \ en [\ Sigma A, X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d684d1cca5cbed314ff3cae8da8868be9e8a8150)
![{\ Displaystyle \ beta \ en [\ Sigma B, X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560bf77807fcc566efc4123c8481a6e09fbd0e90)
![{\ Displaystyle \ beta (\ Sigma \ pi _ {B}) \ in [\ Sigma (A \ times B), X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7467687704a7d68af09ed9207a5788b8f745adea)
