En matemáticas, el producto de Whitehead es una estructura de álgebra de cuasi-Lie graduada sobre los grupos de homotopía de un espacio. Fue definido por JHC Whitehead en ( Whitehead 1941 ).
El código MSC relevante es: 55Q15, productos Whitehead y generalizaciones.
Definición
Elementos dados , el soporte de Whitehead
se define de la siguiente manera:
El producto se puede obtener adjuntando un -celda a la suma de la cuña
- ;
el mapa adjunto es un mapa
Representar y por mapas
y
luego componga su cuña con el mapa adjunto, como
La clase de homotopía del mapa resultante no depende de las elecciones de los representantes, y así se obtiene un elemento bien definido de
Calificación
Tenga en cuenta que hay un cambio de 1 en la calificación (en comparación con la indexación de los grupos de homotopía ), por lo que tiene grado ; equivalentemente,(estableciendo L como el álgebra de cuasi-Lie graduada). Por lo tanto actúa sobre cada componente clasificado.
Propiedades
El producto Whitehead satisface las siguientes propiedades:
- Bilinealidad.
- Simetría gradual.
- Identidad de Jacobi graduada .
A veces, los grupos de homotopía de un espacio, junto con la operación del producto de Whitehead, se denominan álgebra de cuasi-Lie graduada ; esto se demuestra en Uehara & Massey (1957) a través del producto triple de Massey .
Relación con la acción de [[Categoría: Plantillas con sintaxis de parámetro incorrecta]]" data-section="4" class="mw-ui-icon mw-ui-icon-element mw-ui-icon-wikimedia-edit-base20 edit-page mw-ui-icon-flush-right">Editar
Si , entonces el corchete de Whitehead está relacionado con la acción habitual de en por
dónde denota la conjugación de por .
Para , esto se reduce a
que es el conmutador habitual en. Esto también se puede ver al observar que el-célula del toro se adjunta a lo largo del conmutador en el -esqueleto .
Productos Whitehead en espacios H
Para un espacio H conectado a una ruta , todos los productos Whitehead endesaparecer. En la subsección anterior, esto es una generalización de los hechos de que los grupos fundamentales de espacios H son abelianos y de que los espacios H son simples .
Suspensión
Todos los productos de Whitehead de las clases , yacen en el núcleo del homomorfismo de suspensión
Ejemplos de
- , dónde es el mapa de Hopf .
Esto se puede demostrar observando que el invariante de Hopf define un isomorfismo y calcular explícitamente el anillo de cohomología de la cofibra de un mapa que representa . Usando la construcción de Pontryagin-Thom hay un argumento geométrico directo, usando el hecho de que la preimagen de un punto regular es una copia del enlace de Hopf .
Aplicaciones a ∞-groupoids
Recuerde que un ∞-grupoide es un -categoría generalización de groupoids que se conjetura para codificar los datos del tipo de homotopía deen un formalismo algebraico. Los objetos son los puntos en el espacio., los morfismos son clases de homotopía de trayectorias entre puntos, y los morfismos superiores son homotopías superiores de esos puntos.
La existencia del producto Whitehead es la razón principal por la que definir una noción de ∞-grupoides es una tarea tan exigente. Se demostró que cualquier ∞-groupoide estricto [1] tiene solo productos de Whitehead triviales, por lo tanto, los groupoids estrictos nunca pueden modelar los tipos de esferas de homotopía, como. [2]
Ver también
Referencias
- ^ Brown, Ronald; Higgins, Philip J. (1981). "La equivalencia de ∞-grupoides y complejos cruzados" . Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . 22 (4): 371–386.
- ^ Simpson, Carlos (9 de octubre de 1998). "Tipos de homotopía de 3-groupoids estrictos". arXiv : matemáticas / 9810059 .
- Whitehead, JHC (abril de 1941), "Sobre la adición de relaciones a grupos de homotopía", Annals of Mathematics , 2, 42 (2): 409–428, doi : 10.2307 / 1968907 , JSTOR 1968907 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Uehara, Hiroshi; Massey, William S. (1957), "La identidad de Jacobi para los productos Whitehead", Geometría y topología algebraicas. Un simposio en honor a S. Lefschetz , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , págs. 361–377, MR 0091473 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Whitehead, George W. (julio de 1946), "Sobre productos en grupos de homotopía", Annals of Mathematics , 2, 47 (3): 460–475, doi : 10.2307 / 1969085 , JSTOR 1969085 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Whitehead, George W. (1978). "X.7 El producto Whitehead". Elementos de la teoría de la homotopía . Springer-Verlag . págs. 472–487. ISBN 978-0387903361. CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )