En topología , una rama de las matemáticas , el producto de rotura de dos espacios puntiagudos (es decir, espacios topológicos con puntos base distinguidos) ( X, x 0 ) e ( Y , y 0 ) es el cociente del espacio producto X × Y bajo las identificaciones ( x , y 0 ) ∼ ( x 0 , y ) para todo x en X e y en Y. El producto smash es en sí mismo un espacio puntiagudo, siendo el punto base la clase de equivalencia de ( x 0 , y 0 ). El producto Smash es denotado generalmente X ∧ Y o X ⨳ Y . El producto de aplastamiento depende de la elección de los puntos base (a menos que tanto X como Y sean homogéneos ).
Uno puede pensar en X e Y que se sienta dentro de X × Y como el subespacios X × { y 0 } y { x 0 } × Y . Estos subespacios se cortan en un único punto: ( x 0 , y 0 ), el punto base de X × Y . Por lo que la unión de estos subespacios puede identificarse con la suma de cuña X ∨ Y . El producto aplastante es entonces el cociente
El producto aplastante aparece en la teoría de la homotopía , una rama de la topología algebraica . En la teoría de la homotopía, a menudo se trabaja con una categoría de espacios diferente a la categoría de todos los espacios topológicos . En algunas de estas categorías, la definición de producto estrella debe modificarse ligeramente. Por ejemplo, el producto de rotura de dos complejos CW es un complejo CW si se usa el producto de los complejos CW en la definición en lugar de la topología del producto . Se necesitan modificaciones similares en otras categorías.
Ejemplos de
- El producto rotura violenta de cualquier espacio puntiagudo X con un 0-esfera (un espacio discreto con dos puntos) es homeomorfo a X .
- El producto de rotura de dos círculos es un cociente del toro homeomorfo a la 2-esfera.
- De manera más general, el producto de rotura de dos esferas S m y S n es homeomórfico a la esfera S m + n .
- El producto de rotura de un espacio X con un círculo es homeomorfo a la suspensión reducida de X :
- La suspensión reducida iterada k- veces de X es homeomórfica al producto de rotura de X y una k -esfera
- En teoría de dominios , tomar el producto de dos dominios (de modo que el producto sea estricto en sus argumentos).
Como producto monoidal simétrico
Para cualquier espacio puntiagudo X , Y y Z en una categoría "conveniente" apropiada (por ejemplo, la de espacios generados de forma compacta ), hay homeomorfismos naturales (preservando el punto base)
Sin embargo, para la categoría ingenua de espacios puntiagudos, esto falla, como lo muestra el contraejemplo y encontrado por Dieter Puppe . [1] Una prueba debida a Kathleen Lewis de que el contraejemplo de Puppe es de hecho un contraejemplo se puede encontrar en el libro de Johann Sigurdsson y J. Peter May . [2]
Estos isomorfismos convierten la categoría apropiada de espacios puntiagudos en una categoría monoidal simétrica con el producto de rotura como el producto monoidal y la esfera 0 puntiaguda (un espacio discreto de dos puntos) como el objeto unitario. Por lo tanto, se puede pensar en el producto smash como una especie de producto tensor en una categoría apropiada de espacios puntiagudos.
Relación adjunta
Los functores adjuntos hacen que la analogía entre el producto tensor y el producto smash sea más precisa. En la categoría de módulos R sobre un anillo conmutativo R , el tensor functorse deja adjunto al functor Hom interno , así que eso
En la categoría de espacios puntiagudos , el producto smash juega el papel del producto tensorial en esta fórmula: si son Hausdorff compactos, entonces tenemos un adjunto
dónde denota mapas continuos que envían punto base a punto base, y lleva la topología compacta-abierta . [3]
En particular, tomando ser el círculo unitario , vemos que el functor de suspensión reducido se deja adjunto al functor de espacio de bucle:
Notas
- ^ Marioneta, Dieter (1958). "Homotopiemengen und ihre induzierten Abbildungen. I.". Mathematische Zeitschrift . 69 : 299–344. doi : 10.1007 / BF01187411 . Señor 0100265 . (pág.336)
- ^ Mayo, J. Peter ; Sigurdsson, Johann (2006). Teoría de la homotopía parametrizada . Encuestas y Monografías Matemáticas. 132 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . sección 1.5. ISBN 978-0-8218-3922-5. Señor 2271789 .
- ^ "Topología algebraica", Maunder, Teorema 6.2.38c
Referencias
- Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.