Número de Bernoulli

En matemáticas , los números de Bernoulli B _n son una secuencia de números racionales que aparecen con frecuencia en el análisis . Los números de Bernoulli aparecen en (y pueden definirse mediante) las expansiones de la serie de Taylor de las funciones tangente e hiperbólica tangente , en la fórmula de Faulhaber para la suma de las m -ésimas potencias de los primeros n enteros positivos, en la fórmula de Euler-Maclaurin y en expresiones para ciertos valores de la función zeta de Riemann .

Los valores de los primeros 20 números de Bernoulli se dan en la tabla adyacente. En la literatura se utilizan dos convenciones, indicadas aquí por y ; difieren solo para n = 1 , donde y . Para cada impar n > 1 , B _n = 0 . Para todo par n > 0 , B _n es negativo si n es divisible por 4 y positivo en caso contrario. Los números de Bernoulli son valores especiales de los polinomios de Bernoulli , con y . ^[1]${\displaystyle B_{n}^{-{}}}$${\displaystyle B_{n}^{+{}}}$${\displaystyle B_{1}^{-{}}=-1/2}$${\displaystyle B_{1}^{+{}}=+1/2}$ ${\ estilo de visualización B_ {n} (x)}$${\displaystyle B_{n}^{-{}}=B_{n}(0)}$${\displaystyle B_{n}^{+}=B_{n}(1)}$

Los números de Bernoulli fueron descubiertos casi al mismo tiempo por el matemático suizo Jacob Bernoulli , de quien reciben su nombre, e independientemente por el matemático japonés Seki Takakazu . El descubrimiento de Seki fue publicado póstumamente en 1712 ^{[2] [3] [4]} en su obra Katsuyō Sanpō ; Bernoulli, también póstumamente, en su Ars Conjectandi de 1713. La nota G de Ada Lovelace sobre el motor analítico de 1842 describe un algoritmo para generar números de Bernoulli con la máquina de Babbage . ^[5]Como resultado, los números de Bernoulli tienen la distinción de ser el tema del primer programa informático complejo publicado .

El superíndice ± utilizado en este artículo distingue las dos convenciones de signos para los números de Bernoulli. Solo el término n = 1 se ve afectado:

En las fórmulas a continuación, uno puede cambiar de una convención de signos a otra con la relación , o para un número entero n = 2 o mayor, simplemente ignórelo.${\displaystyle B_{n}^{+}=(-1)^{n}B_{n}^{-}}$

Dado que B _n = 0 para todos los n impares > 1 , y muchas fórmulas solo involucran números de Bernoulli de índice par, algunos autores escriben " B _n " en lugar de B _{2 n}  . Este artículo no sigue esa notación.

Una página de Katsuyō Sanpō de Seki Takakazu (1712), tabulando coeficientes binomiales y números de Bernoulli

"Summae Potestatum" de Jakob Bernoulli, 1713 ^[a]

Los números de Bernoulli dados por la función zeta de Riemann.

${\displaystyle {\begin{matriz}{crrrcc}{}&{}&{\color {rojo}1}&{}&{}&{}\\{}&{\rightarrow }&{\color {azul }1}&{\color {rojo}1}&{}\\{}&{\color {rojo}2}&{\color {azul}2}&{\color {azul}1}&{\leftarrow }\\{\rightarrow }&{\color {azul}2}&{\color {azul}4}&{\color {azul}5}&{\color {rojo}5}\\{\color {rojo }16}&{\color {azul}16}&{\color {azul}14}&{\color {azul}10}&{\color {azul}5}&{\leftarrow }\end{matriz}} }$

Algoritmo de Seidel para T _n