Hipótesis del continuo
En matemáticas , la hipótesis del continuo (abreviado CH ) es una hipótesis sobre los posibles tamaños de conjuntos infinitos . Afirma:
En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC), esto equivale a la siguiente ecuación en números alef : .
La hipótesis del continuo fue propuesta por Georg Cantor en 1878, [1] y establecer su verdad o falsedad es el primero de los 23 problemas de Hilbert presentados en 1900. La respuesta a este problema es independiente de ZFC, de modo que la hipótesis del continuo o su negación se puede agregar como un axioma a la teoría de conjuntos ZFC, siendo la teoría resultante consistente si y solo si ZFC es consistente. Esta independencia fue probada en 1963 por Paul Cohen , complementando el trabajo anterior de Kurt Gödel en 1940. [2]
Cantor creía que la hipótesis del continuo era cierta y durante muchos años trató en vano de probarla. [3] Se convirtió en el primero de la lista de preguntas abiertas importantes de David Hilbert que se presentó en el Congreso Internacional de Matemáticos en el año 1900 en París. La teoría axiomática de conjuntos aún no estaba formulada en ese momento. Kurt Gödel demostró en 1940 que la negación de la hipótesis del continuo, es decir, la existencia de un conjunto con cardinalidad intermedia, no podía probarse en la teoría de conjuntos estándar. [2] La segunda mitad de la independencia de la hipótesis del continuo, es decir, la indemostrabilidad de la inexistencia de un conjunto de tamaño intermedio, fue probada en 1963 por Paul Cohen .. [4]
Se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad o número cardinal si existe una biyección (una correspondencia uno a uno) entre ellos. Intuitivamente, que dos conjuntos S y T tengan la misma cardinalidad significa que es posible "emparejar" elementos de S con elementos de T de tal manera que cada elemento de S esté emparejado con exactamente un elemento de T y viceversa . viceversa Por tanto, el conjunto {plátano, manzana, pera} tiene la misma cardinalidad que {amarillo, rojo, verde}.
Con conjuntos infinitos como el conjunto de los números enteros o los números racionales , la existencia de una biyección entre dos conjuntos se vuelve más difícil de demostrar. Los números racionales aparentemente forman un contraejemplo de la hipótesis del continuo: los números enteros forman un subconjunto propio de los racionales, que a su vez forman un subconjunto propio de los reales, por lo que intuitivamente hay más números racionales que enteros y más números reales que números racionales. Sin embargo, este análisis intuitivo es defectuoso; no tiene debidamente en cuenta el hecho de que los tres conjuntos son infinitos . Resulta que los números racionales en realidad se pueden colocar en correspondencia biunívoca con los enteros y, por lo tanto, el conjunto de números racionales tiene el mismo tamaño ( cardinalidad) como el conjunto de los enteros: ambos son conjuntos contables .