El teorema de Helmholtz generalizado es la generalización multidimensional del teorema de Helmholtz que es válido solo en una dimensión. El teorema de Helmholtz generalizado dice lo siguiente.
Dejar
ser las coordenadas canónicas de un sistema hamiltoniano s- dimensional , y sea
ser la función hamiltoniana , donde
- ,
es la energía cinética y
es la energía potencial que depende de un parámetro. Deje que los hiper-superficies de energía constante en el 2 s espacio de fase -dimensional del sistema sean métricamente indescomponible y permitendenotar promedio de tiempo. Definir las cantidades, , , , como sigue:
- ,
- ,
- ,
Luego:
Observaciones
La tesis de este teorema de la mecánica clásica se lee exactamente como el teorema del calor de la termodinámica . Este hecho muestra que existen relaciones de tipo termodinámico entre ciertas cantidades mecánicas en sistemas ergódicos multidimensionales . Esto a su vez permite definir el "estado termodinámico" de un sistema mecánico ergódico multidimensional, sin el requisito de que el sistema esté compuesto por un gran número de grados de libertad. En particular la temperatura viene dada por el doble del tiempo promedio de la energía cinética por grado de libertad, y la entropía por el logaritmo del volumen del espacio de fase encerrado por la superficie de energía constante (es decir, la denominada entropía de volumen ).
Referencias
Otras lecturas
- Helmholtz, H., von (1884a). Principien der Statik monocyklischer Systeme. Borchardt-Crelle's Journal für die reine und angewandte Mathematik , 97, 111-140 (también en Wiedemann G. (Ed.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (págs. 142-162, 179-202). Leipzig: Johann Ambrosious Barth).
- Helmholtz, H., von (1884b). Studien zur Statik monocyklischer Systeme. Sitzungsberichte der Kö niglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , I, 159-177 (también en Wiedemann G. (Ed.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (págs. 163-178). Leipzig: Johann Ambrosious Barth).
- Boltzmann, L. (1884). Über die Eigenschaften monocyklischer und anderer damit verwandter Systeme. Crelles Journal , 98: 68–94 (también en Boltzmann, L. (1909). Wissenschaftliche Abhandlungen (Vol. 3, págs. 122–152), F. Hasenöhrl (Ed.). Leipzig. Publicado nuevamente en Nueva York: Chelsea, 1969 ).
- Khinchin, AI (1949). Fundamentos matemáticos de la mecánica estadística . Nueva York: Dover.
- Gallavotti, G. (1999). Mecánica estadística: un breve tratado . Berlín: Springer.
- Campisi, M. (2005) Sobre los fundamentos mecánicos de la termodinámica: el teorema generalizado de Helmholtz Estudios en historia y filosofía de la física moderna 36: 275-290