La entropía de volumen es una invariante asintótica de una variedad compacta de Riemann que mide la tasa de crecimiento exponencial del volumen de bolas métricas en su cobertura universal . Este concepto está estrechamente relacionado con otras nociones de entropía que se encuentran en los sistemas dinámicos y juega un papel importante en la geometría diferencial y la teoría de grupos geométricos . Si la variedad no tiene una curva positiva, entonces su entropía de volumen coincide con la entropía topológica del flujo geodésico.. Es de considerable interés en geometría diferencial encontrar la métrica de Riemann en una variedad suave dada que minimice la entropía de volumen, con espacios localmente simétricos que forman una clase básica de ejemplos.
Definición
Sea ( M , g ) una variedad compacta de Riemann, con cubierta universal Elige un punto .
La entropía de volumen (o crecimiento de volumen asintótico) se define como el límite
donde B ( R ) es la bola de radio R en centrado en y vol es el volumen de Riemann en la cubierta universal con la métrica de Riemann natural.
A. Manning demostró que el límite existe y no depende de la elección del punto base. Este invariante asintótico describe la tasa de crecimiento exponencial del volumen de bolas en la cobertura universal en función del radio.
Propiedades
- Entropía Volumen h siempre está acotado superiormente por la topológica entropía h parte superior del flujo geodésica en M . Además, si M tiene una curvatura seccional no positiva, entonces h = h arriba . Estos resultados se deben a Manning.
- De manera más general, la entropía de volumen es igual a la entropía topológica bajo una suposición más débil de que M es una variedad riemanniana cerrada sin puntos conjugados (Freire y Mañé).
- Los espacios localmente simétricos minimizan la entropía cuando se prescribe el volumen. Este es un corolario de un resultado muy general debido a Besson, Courtois y Gallot (que también implica la rigidez de Mostow y sus diversas generalizaciones debido a Corlette, Siu y Thurston ):
- Sean X e Y colectores lisos n- dimensionales conectados orientados compactos y f : Y → X un mapa continuo de grado distinto de cero . Si g 0 es un curvado negativamente métrica de Riemann localmente simétrica en X y g es cualquier Riemann métrica en Y a continuación,
- y para n ≥ 3, la igualdad ocurre si y solo si ( Y , g ) es localmente simétrico del mismo tipo que ( X , g 0 ) yf es homotópico a una cubierta homotética ( Y , g ) → ( X , g 0 ).
- Sean X e Y colectores lisos n- dimensionales conectados orientados compactos y f : Y → X un mapa continuo de grado distinto de cero . Si g 0 es un curvado negativamente métrica de Riemann localmente simétrica en X y g es cualquier Riemann métrica en Y a continuación,
Aplicación en geometría diferencial de superficies
La desigualdad de entropía de Katok se aprovechó recientemente para obtener un límite asintótico estrecho para la proporción sistólica de superficies de géneros grandes, ver sístoles de superficies .
Referencias
- Besson, G., Courtois, G., Gallot, S. Entropies et rigidités des espaces localement symétriques de courbure strictement négative. (Francés) [Entropía y rigidez de espacios localmente simétricos con curvatura estrictamente negativa] Geom. Funct. Anal. 5 (1995), núm. 5, 731–799
- Katok, A .: Entropía y geodésicas cerradas, Erg. Th. Dyn. Sys. 2 (1983), 339–365
- Katok, A .; Hasselblatt, B .: Introducción a la teoría moderna de sistemas dinámicos. Con un capítulo complementario de Katok y L. Mendoza. Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, 54. Cambridge University Press, Cambridge, 1995
- Katz, M .; Sabourau, S .: Entropía de superficies sistólicamente extremas y límites asintóticos. Ergio. Th. Dyn. Sys. 25 (2005), 1209-1220
- Manning, A .: Entropía topológica para flujos geodésicos. Ana. de Matemáticas. (2) 110 (1979), núm. 3, 567–573