Diagrama de dos masas que se atraen
La ley de Newton de la gravitación universal establece que la fuerza gravitacional F que actúa entre dos masas puntuales m 1 y m 2 con centro de separación de masas r está dada por
donde G es la constante gravitacional y r̂ es el vector unitario radial . Para un objeto no puntual de distribución de masa continua, cada elemento de masa dm puede tratarse como masa distribuida sobre un volumen pequeño, por lo que la integral de volumen sobre la extensión del objeto 2 da:
| | ( 1 ) |
con el potencial gravitacional correspondiente
| | ( 2 ) |
donde ρ_2 = ρ ( x, y, z ) es la densidad de masa en el elemento de volumen y de la dirección desde el elemento de volumen hasta el punto de masa 1. es la energía potencial gravitacional por unidad de masa.
El caso de una esfera homogénea
En el caso especial de una esfera con una densidad de masa esféricamente simétrica, entonces ρ = ρ ( s ), es decir, la densidad depende solo de la distancia radial.
Estas integrales se pueden evaluar analíticamente. Este es el teorema de shell que dice que en este caso:
| | ( 3 ) |
con el potencial correspondiente
| | ( 4 ) |
donde M = ∫ V ρ ( s ) dxdydz es la masa total de la esfera.
En realidad, la Tierra no es exactamente esférica, principalmente por su rotación alrededor del eje polar que hace que su forma sea ligeramente achatada. Si esta forma se conociera perfectamente junto con la densidad de masa exacta ρ = ρ ( x, y, z ), las integrales ( 1 ) y ( 2 ) podrían evaluarse con métodos numéricos para encontrar un modelo más preciso para el campo gravitacional de la Tierra. Sin embargo, la situación es al revés. Al observar las órbitas de las naves espaciales y la Luna, el campo gravitacional de la Tierra se puede determinar con bastante precisión y la mejor estimación de la masa de la Tierra se obtiene dividiendo el producto GM determinado a partir del análisis de la órbita de las naves espaciales con un valor de G determinado por un valor relativo menor precisión utilizando otros métodos físicos.
De las ecuaciones definitorias ( 1 ) y ( 2 ) queda claro (tomando las derivadas parciales del integrando) que fuera del cuerpo en el espacio vacío las siguientes ecuaciones diferenciales son válidas para el campo causado por el cuerpo:
| | ( 5 ) |
| | ( 6 ) |
Funciones del formulario donde ( r , θ, φ) son las coordenadas esféricas que satisfacen la ecuación diferencial parcial ( 6 ) (la ecuación de Laplace ) se denominan funciones armónicas esféricas .
Toman las formas:
| | ( 7 ) |
donde se utilizan coordenadas esféricas ( r , θ, φ), dadas aquí en términos de cartesiano ( x, y, z ) como referencia:
| | ( 8 ) |
también P 0 n son los polinomios de Legendre y P m n para 1 ≤ m ≤ n son las funciones de Legendre asociadas .
Los primeros armónicos esféricos con n = 0,1,2,3 se presentan en la siguiente tabla.
norte | Armónicos esféricos |
---|
0 | |
1 | |
|
|
2 | |
|
|
|
|
3 | |
|
|
|
|
|
|
El modelo del potencial gravitacional de la Tierra es una suma
| | ( 9 ) |
dónde y las coordenadas ( 8 ) son relativas al sistema de referencia geodésico estándar extendido en el espacio con origen en el centro del elipsoide de referencia y con eje z en la dirección del eje polar.
Los términos zonales se refieren a los términos del formulario:
y los términos teserales se refieren a los términos de la forma:
Los términos zonales y teserales para n = 1 se omiten en ( 9 ). Los coeficientes para n = 1 con m = 0 ym = 1 término corresponden a un término dipolo orientado arbitrariamente en la expansión multipolar. La gravedad no exhibe físicamente ningún carácter dipolo, por lo que la integral que caracteriza n = 1 debe ser cero.
A los diferentes coeficientes J n , C n m , S n m , se les asignan los valores para los cuales se obtiene la mejor concordancia posible entre las órbitas de las naves espaciales calculadas y observadas.
Como P 0 n ( x ) = - P 0 n (- x ) coeficientes distintos de cero J n para n impares corresponden a una falta de simetría "norte-sur" con respecto al plano ecuatorial para la distribución de masa de la Tierra. Los coeficientes distintos de cero C n m , S n m corresponden a una falta de simetría rotacional alrededor del eje polar para la distribución de masa de la Tierra, es decir, a una "triaxialidad" de la Tierra.
Para valores grandes de n, los coeficientes anteriores (que se dividen entre r ( n + 1) en ( 9 )) toman valores muy grandes cuando, por ejemplo, los kilómetros y los segundos se utilizan como unidades. En la literatura es común introducir algún "radio de referencia" arbitrario R cercano al radio de la Tierra y trabajar con los coeficientes adimensionales
y escribir el potencial como
| | ( 10 ) |
El término dominante (después del término −μ / r ) en ( 9 ) es el " término J 2 ":
Relativo al sistema de coordenadas
| | ( 11 ) |
Figura 1: Los vectores unitarios. Esto está mal. Debería haber una theta, no una lambda
ilustrado en la figura 1, los componentes de la fuerza causada por el " término J 2 " son
| | ( 12 ) |
En el sistema de coordenadas rectangulares ( x, y, z ) con vectores unitarios ( x̂ ŷ ẑ ) las componentes de la fuerza son:
| | ( 13 ) |
Los componentes de la fuerza correspondientes al " término J 3 "
están
| | ( 14 ) |
y
| | ( 15 ) |
Los valores numéricos exactos de los coeficientes se desvían (algo) entre los diferentes modelos de la Tierra, pero para los coeficientes más bajos todos coinciden casi exactamente.
Para JGM-3, los valores son:
- μ = 398600,440 km 3 ⋅s −2
- J 2 = 1,75553 × 10 10 km 5 ⋅s −2
- J 3 = −2,61913 × 10 11 km 6 ⋅s −2
Por ejemplo, en un radio de 6600 km (unos 200 km por encima de la superficie de la Tierra) J 3 / ( J 2 r ) es aproximadamente 0,002, es decir, la corrección a la " fuerza J 2 " del " término J 3 " está en el orden de 2 permille. El valor negativo de J 3 implica que para una masa puntual en el plano ecuatorial de la Tierra, la fuerza gravitacional está ligeramente inclinada hacia el sur debido a la falta de simetría para la distribución de masa del "norte-sur" de la Tierra.
Derivación de armónicos esféricos
La siguiente es una derivación compacta de los armónicos esféricos utilizados para modelar el campo gravitacional de la Tierra. Los armónicos esféricos se derivan del enfoque de buscar funciones armónicas de la forma
| | ( 16 ) |
donde ( r , θ, φ) son las coordenadas esféricas definidas por las ecuaciones ( 8 ). Mediante cálculos sencillos se obtiene que para cualquier función f
| | ( 17 ) |
Introduciendo la expresión ( 16 ) en ( 17 ) se obtiene que
| | ( 18 ) |
Como el término
solo depende de la variable y la suma
solo depende de las variables θ y φ. Uno entiende que φ es armónico si y solo si
| | ( 19 ) |
y
| | ( 20 ) |
por alguna constante
De ( 20 ) se sigue que
Los dos primeros términos solo dependen de la variable y el tercero solo en la variable .
De la definición de φ como una coordenada esférica queda claro que Φ (φ) debe ser periódica con el período 2π y, por lo tanto, uno debe tener que
| | ( 21 ) |
y
| | ( 22 ) |
para algún entero m como la familia de soluciones de ( 21 ) entonces son
| | ( 23 ) |
Con la sustitución de variables
la ecuación ( 22 ) toma la forma
| | ( 24 ) |
De ( 19 ) se deduce que para tener una solución con
uno debe tener eso
Si P n ( x ) es una solución a la ecuación diferencial
| | ( 25 ) |
uno por lo tanto tiene que el potencial correspondiente a m = 0
que es simétrica rotacional alrededor del eje z es una función armónica
Si es una solución a la ecuación diferencial
| | ( 26 ) |
con m ≥ 1 uno tiene el potencial
| | ( 27 ) |
donde un y b son constantes arbitrarias es una función armónica que depende de φ y por lo tanto es no simétrica de rotación alrededor del eje z
La ecuación diferencial ( 25 ) es la ecuación diferencial de Legendre para la cual los polinomios de Legendre definieron
| | ( 28 ) |
son las soluciones.
El factor arbitrario 1 / (2 n n !) Se selecciona para hacer P n (−1) = - 1 y P n (1) = 1 para n impar y P n (−1) = P n (1) = 1 incluso para n .
Los primeros seis polinomios de Legendre son:
| | ( 29 ) |
Las soluciones de la ecuación diferencial ( 26 ) son las funciones de Legendre asociadas
| | ( 30 ) |
Uno por lo tanto tiene eso
Las órbitas de las naves espaciales se calculan mediante la integración numérica de la ecuación de movimiento . Para ello , se debe calcular la fuerza gravitacional, es decir, el gradiente del potencial. Se han diseñado algoritmos recursivos eficientes para calcular la fuerza gravitacional para cualquier y (el grado máximo de términos zonales y teserales) y tales algoritmos se utilizan en software de propagación de órbita estándar.
Modelos disponibles
Los primeros modelos terrestres de uso general por la NASA y ESRO / ESA fueron los "Modelos Goddard de la Tierra" desarrollados por el Centro de Vuelo Espacial Goddard, denominados "GEM-1", "GEM-2", "GEM-3", etc. Más tarde, los "Modelos Conjuntos de Gravedad de la Tierra" denominados "JGM-1", "JGM-2", "JGM-3" desarrollados por Goddard Space Flight Center en cooperación con universidades y empresas privadas estuvieron disponibles. Los modelos más nuevos generalmente proporcionaron términos de orden más alto que sus precursores. El EGM96 usa N z = N t = 360 dando como resultado 130317 coeficientes. También está disponible un modelo EGM2008.
Para un satélite terrestre normal que requiera una precisión de predicción / determinación de la órbita de unos pocos metros, el "JGM-3" truncado a N z = N t = 36 (1365 coeficientes) suele ser suficiente. Las inexactitudes del modelado de la resistencia aerodinámica y, en menor medida, la presión de la radiación solar superarán las inexactitudes causadas por los errores de modelado gravitacional.
Los coeficientes adimensionales , , para los primeros términos zonales y teserales (utilizando = 6378.1363 km y = 398600,4415 km 3 / s 2 ) del modelo JGM-3 son
Coeficientes zonales norte |
---|
2 | -0.1082635854D-02 |
---|
3 | 0,2532435346D-05 |
---|
4 | 0.1619331205D-05 |
---|
5 | 0,2277161016D-06 |
---|
6 | -0,5396484906D-06 |
---|
7 | 0.3513684422D-06 |
---|
8 | 0,2025187152D-06 |
---|
Coeficientes teserales norte | metro | C | S |
---|
2 | 1 | -0,3504890360D-09 | 0.1635406077D-08 |
---|
2 | 2 | 0.1574536043D-05 | -0,9038680729D-06 |
---|
3 | 1 | 0,2192798802D-05 | 0,2680118938D-06 |
---|
3 | 2 | 0.3090160446D-06 | -0,2114023978D-06 |
---|
3 | 3 | 0.1005588574D-06 | 0,1972013239D-06 |
---|
4 | 1 | -0,5087253036D-06 | -0,4494599352D-06 |
---|
4 | 2 | 0,7841223074D-07 | 0.1481554569D-06 |
---|
4 | 3 | 0.5921574319D-07 | -0,1201129183D-07 |
---|
4 | 4 | -0,3982395740D-08 | 0,6525605810D-08 |
---|
De acuerdo con JGM-3 uno por lo tanto tiene que km 5 / s 2 =km 5 / s 2 ykm 6 / s 2 =km 6 / s 2