En matemáticas, las superficies de clase VII son superficies complejas no algebraicas estudiadas por (Kodaira 1964 , 1968 ) que tienen dimensión de Kodaira −∞ y primer número de Betti 1. Superficies mínimas de clase VII (aquellas sin curvas racionales con autointersección −1 ) se denominan superficies de clase VII 0 . Cada superficie de clase VII es birracional a una única superficie mínima de clase VII, y se puede obtener a partir de esta superficie mínima explotando puntos un número finito de veces.
El nombre "clase VII" proviene de ( Kodaira 1964 , teorema 21), que dividía las superficies mínimas en 7 clases numeradas I 0 a VII 0 . Sin embargo, la clase VII 0 de Kodaira no tenía la condición de que la dimensión de Kodaira fuera −∞, sino que tenía la condición de que el género geométrico fuera 0. Como resultado, su clase VII 0 también incluía algunas otras superficies, como las superficies secundarias de Kodaira . que ya no se consideran de clase VII ya que no tienen la dimensión Kodaira −∞. Las superficies mínimas de clase VII son la clase numerada "7" en la lista de superficies en ( Kodaira 1968 , teorema 55).
Las superficies de Hopf son cocientes de C 2 −(0,0) por un grupo discreto G que actúa libremente y tienen segundos números Betti nulos. El ejemplo más simple es tomar G como los números enteros, actuando como una multiplicación por potencias de 2; la superficie de Hopf correspondiente es difeomorfa a S 1 × S 3 .
Las superficies de Inoue son ciertas superficies de clase VII cuya cobertura universal es C × H donde H es el semiplano superior (por lo que son cocientes de este por un grupo de automorfismos). Tienen segundos números de Betti que desaparecen.
Las superficies de Inoue-Hirzebruch, las superficies de Enoki y las superficies de Kato son ejemplos de superficies de tipo VII con b 2 > 0.
Las superficies mínimas de clase VII con el segundo número de Betti b 2 =0 han sido clasificadas por Bogomolov ( 1976 , 1982 ) y son superficies de Hopf o superficies de Inoue . Aquellas con b 2 =1 fueron clasificadas por Nakamura (1984b) bajo un supuesto adicional de que la superficie tiene una curva, que luego fue probada por Teleman (2005) .