En geometría compleja , una superficie Inoue es cualquiera de varias superficies complejas de Kodaira clase VII . Llevan el nombre de Masahisa Inoue , quien dio los primeros ejemplos no triviales de superficies Kodaira clase VII en 1974. [1]
Las superficies de Inoue no son colectores de Kähler .
Inoue superficies con b 2 = 0
Inoue introdujo tres familias de superficies, S 0 , S + y S - , que son cocientes compactos de(un producto de un plano complejo por un semiplano). Estas superficies de Inoue son múltiples solv . Se obtienen como cocientes de por un grupo discreto solucionable que actúa holomórficamente en
Todas las superficies solvmanifold construidas por Inoue tienen un segundo número de Betti . Estas superficies son de Kodaira clase VII , lo que significa que tieneny dimensión Kodaira . Se comprobó por Bogomolov , [2] Li- Yau [3] y Teleman [4] que cualquier superficie de clase VII cones una superficie de Hopf o un colector de solv de tipo Inoue.
Estas superficies no tienen funciones meromórficas ni curvas.
K. Hasegawa [5] da una lista de todas las variedades solv complejas bidimensionales; estos son torus complejas , superficie hiperelípticas , superficie Kodaira y Inoue superficies de S 0 , S + y S - .
Las superficies de Inoue se construyen explícitamente de la siguiente manera. [5]
De tipo S 0
Sea φ una matriz entera de 3 × 3, con dos valores propios complejosy un valor propio real c > 1, con. Entonces φ es invertible sobre enteros y define una acción del grupo de enteros, en . DejarEste grupo es una celosía en un grupo de Lie resoluble.
actuando con el -parte actuando por traducciones y el -parte como
Extendemos esta acción a configurando , donde t es el parámetro de la-parte de y actuando trivialmente con el factor en . Esta acción es claramente holomórfica, y el cocientese llama superficie Inoue de tipo
La superficie Inoue de tipo S 0 se determina mediante la elección de una matriz entera φ , restringida como se indicó anteriormente. Hay un número contable de tales superficies.
De tipo S +
Sea n un entero positivo y ser el grupo de matrices triangulares superiores
El cociente de por su centro C es. Sea φ un automorfismo de, asumimos que φ actúa sobrecomo una matriz con dos valores propios positivos reales a, b , y ab = 1. Considerar el grupo resoluble con actuando como φ . Identificar el grupo de matrices triangulares superiores con obtenemos una acción de en Definir una acción de en con actuando trivialmente en el -parte y el actuando como El mismo argumento que para las superficies Inoue de tipo muestra que esta acción es holomórfica. El cocientese llama superficie Inoue de tipo
De tipo S -
Inoue superficies de tipo se definen de la misma manera que para S + , pero dos valores propios a, b de φ actuando sobretienen signo opuesto y satisfacen ab = −1. Dado que un cuadrado de tal endomorfismo define una superficie Inoue de tipo S + , una superficie Inoue de tipo S - tiene una doble cubierta no ramificada de tipo S + .
Superficies de Inoue parabólicas e hiperbólicas
Las superficies Inoue parabólicas e hiperbólicas son superficies Kodaira clase VII definidas por Iku Nakamura en 1984. [6] No son variedades solv. Estas superficies tienen un segundo número Betti positivo. Tienen conchas esféricas y pueden deformarse en una superficie Hopf inflada .
Las superficies parabólicas Inoue contienen un ciclo de curvas racionales con 0 autointersección y una curva elíptica. Son un caso particular de superficies Enoki que tienen un ciclo de curvas racionales con auto-intersección cero pero sin curva elíptica. Las superficies Half-Inoue contienen un ciclo C de curvas racionales y son un cociente de una superficie de Inoue hiperbólica con dos ciclos de curvas racionales.
Las superficies hiperbólicas de Inoue son superficies de clase VII 0 con dos ciclos de curvas racionales. [7] Las superficies parabólicas e hiperbólicas son casos particulares de superficies mínimas con capas esféricas globales (GSS) también llamadas superficies Kato. Todas estas superficies pueden construirse mediante contracciones no invertibles. [8]
Notas
- ^ M. Inoue, "Sobre superficies de clase VII 0 ", Inventiones matemáticas. , 24 (1974), 269-310.
- ^ Bogomolov, F .: "Clasificación de superficies de clase VII 0 con b 2 = 0", Matemáticas. URSS Izv 10, 255-269 (1976)
- ^ Li, J., Yau, S., T .: "Conexiones de Hermitian Yang-Mills en variedades que no son de Kähler", Matemáticas. aspectos de la teoría de cuerdas (San Diego, Calif., 1986), Adv. Ser. Matemáticas. Phys. 1, 560–573, World Scientific Publishing (1987)
- ^ Teleman, A .: "Superficies proyectivamente planas y teorema de Bogomolov sobre superficies de clase VII 0 ", Int. J. Math. , Vol. 5, No 2, 253–264 (1994)
- ^ a b Keizo Hasegawa Complex y estructuras de Kähler en Compact Solvmanifolds, J. Symplectic Geom. Volumen 3, Número 4 (2005), 749–767.
- ^ I. Nakamura, "Sobre superficies de clase VII 0 con curvas", Inv. Matemáticas. 78, 393-443 (1984).
- ^ I. Nakamura. " Encuesta sobre superficies VII 0 ", Desarrollos recientes en geometría no Kaehler , Sapporo, marzo de 2008.
- ↑ G. Dloussky, "Une construction elementaire des surface d'Inoue-Hirzebruch". Matemáticas. Ana. 280, 663–682 (1988).