Espiral dorada

Las espirales doradas son auto-similares . La forma se repite infinitamente cuando se amplía.

En geometría , una espiral dorada es una espiral logarítmica cuyo factor de crecimiento es φ , la proporción áurea . ^[1] Es decir, una espiral dorada se ensancha (o se aleja de su origen) en un factor de φ por cada cuarto de vuelta que da.

Aproximaciones de la espiral dorada

Espirales doradas aproximadas y verdaderas: la espiral verde está formada por cuartos de círculo tangentes al interior de cada cuadrado, mientras que la espiral roja es una espiral dorada, un tipo especial de espiral logarítmica . Las porciones superpuestas aparecen amarillas . La longitud del lado de un cuadrado más grande al siguiente cuadrado más pequeño está en la proporción áurea . Para un cuadrado con una longitud de lado 1 , el siguiente cuadrado más pequeño tiene 1 / φ de ancho. El siguiente ancho es 1 / φ² , luego 1 / φ³ , y así sucesivamente.

Hay varias espirales comparables que se aproximan, pero no exactamente iguales, a una espiral dorada. ^[2]

Por ejemplo, una espiral dorada se puede aproximar comenzando primero con un rectángulo para el cual la proporción entre su largo y ancho es la proporción áurea. Este rectángulo se puede dividir en un cuadrado y un rectángulo similar y este rectángulo se puede dividir de la misma manera. Después de continuar este proceso durante un número arbitrario de pasos, el resultado será una división casi completa del rectángulo en cuadrados. Las esquinas de estos cuadrados se pueden conectar mediante cuartos de círculo. El resultado, aunque no es una verdadera espiral logarítmica, se aproxima mucho a una espiral dorada. ^[2]

Otra aproximación es una espiral de Fibonacci , que se construye de manera ligeramente diferente. Una espiral de Fibonacci comienza con un rectángulo dividido en 2 cuadrados. En cada paso, se agrega al rectángulo un cuadrado de la longitud del lado más largo del rectángulo. Dado que la proporción entre números de Fibonacci consecutivos se acerca a la proporción áurea a medida que los números de Fibonacci se acercan al infinito, esta espiral también se vuelve más similar a la aproximación anterior a medida que se agregan más cuadrados, como se ilustra en la imagen.

Espirales en la naturaleza

Pueden ocurrir espirales logarítmicas aproximadas en la naturaleza, por ejemplo los brazos de galaxias espirales ^[3] - las espirales doradas son un caso especial de estas espirales logarítmicas, aunque no hay evidencia de que haya una tendencia general hacia la aparición de este caso. La filotaxis está relacionada con la proporción áurea porque implica hojas o pétalos sucesivos separados por el ángulo áureo ; también da como resultado la aparición de espirales, aunque de nuevo ninguno de ellos es (necesariamente) espirales doradas. A veces se afirma que las galaxias espirales y las conchas de nautilus se ensanchan en el patrón de una espiral dorada y, por lo tanto, están relacionadas tanto con φ como con la serie de Fibonacci.^[4] En verdad, las galaxias espirales y los caparazones de nautilus (y muchoscaparazones de moluscos) exhiben un crecimiento en espiral logarítmico, pero en una variedad de ángulos generalmente claramente diferentes a los de la espiral dorada. ^{[5] [6] [7]} Este patrón permite que el organismo crezca sin cambiar de forma. ^{[ cita requerida ]}

Matemáticas

Una espiral de Fibonacci se aproxima a la espiral dorada usando arcos de cuarto de círculo inscritos en cuadrados derivados de la secuencia de Fibonacci .

Una espiral dorada con radio inicial 1 es el lugar geométrico de puntos de coordenadas polares que satisfacen${\displaystyle (r,\theta )}$

$${\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi }}$$

La ecuación polar para una espiral dorada es la misma que para otras espirales logarítmicas , pero con un valor especial del factor de crecimiento b : ^[8]

$${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$$

o

$${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$$

con e siendo la base de logaritmos naturales , una siendo el radio inicial de la espiral, y b tales que cuando θ es un ángulo recto (un cuarto de vuelta en cualquier dirección):

$${\displaystyle e^{b\theta _{\mathrm {right} }}=\varphi .}$$

Por tanto, b viene dado por

$${\displaystyle b={\ln {\varphi } \over \theta _{\mathrm {right} }}.}$$

La espiral de Lucas se aproxima a la espiral dorada cuando sus términos son grandes pero no cuando son pequeños. Se incluyen 10 términos, de 2 a 76.

El valor numérico de b depende de si el ángulo recto se mide en 90 grados o en radianes; y dado que el ángulo puede estar en cualquier dirección, es más fácil escribir la fórmula para el valor absoluto de (es decir, b también puede ser el negativo de este valor):${\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle b}$

$${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over 90}\doteq 0.0053468}$$

para θ en grados, o

$${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}\doteq 0.3063489}$$

para θ en radianes. ^[9]

Una fórmula alternativa para una espiral logarítmica y dorada es: ^[10]

$${\displaystyle r=ac^{\theta }}$$

donde la constante c viene dada por:

$${\displaystyle c=e^{b}}$$

que para la espiral dorada da valores de c de:

$${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611}$$

si θ se mide en grados, y

$${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456}$$

si θ se mide en radianes. ^[11]

Con respecto a las espirales logarítmicas, la espiral dorada tiene la propiedad distintiva de que para cuatro puntos espirales colineales A, B, C, D pertenecientes a los argumentos θ , θ + π , θ + 2π , θ + 3π el punto C es el conjugado armónico proyectivo de B con respecto a A, D, es decir, la relación cruzada (A, D; B, C) tiene el valor singular -1. La espiral dorada es la única espiral logarítmica con (A, D; B, C) = (A, D; C, B).

Pendiente polar

Definición de ángulo y sector de pendiente

En la ecuación polar para una espiral logarítmica :

$${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$$

el parámetro b está relacionado con el ángulo de la pendiente polar  :${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \tan \alpha =b.}$$

En una espiral dorada, siendo constante e igual a (para θ en radianes, como se define arriba), el ángulo de pendiente es:${\displaystyle b}$${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}}$${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \alpha =\arctan(|b|)=\arctan \left({\ln {\varphi } \over \pi /2}\right),}$$

por eso:

$${\displaystyle \alpha \doteq 17.03239113}$$

si se mide en grados, o

$${\displaystyle \alpha \doteq 0.2972713047}$$

si se mide en radianes. ^[12]

Su ángulo complementario

$${\displaystyle \beta =\pi /2-\alpha \doteq 1.273525022}$$

en radianes, o

$${\displaystyle \beta =90-\alpha \doteq 73}$$

en grados, es el ángulo que forman los brazos espirales dorados con una línea desde el centro de la espiral.

En la cultura popular

• La espiral dorada es un concepto clave en la séptima (y en mucha menor medida la octava ) parte de JoJo's Bizarre Adventure .

Ver también

Moneda lituana con la espiral

• Número de Fibonacci
• Ángulo dorado
• Proporción áurea
• Rectángulo dorado
• Lista de espirales
• Espiral logarítmica

Referencias

1. Chang, Yu-sung, " Golden Spiral Archivado el 28 de julio de 2019 en la Wayback Machine ", El proyecto de demostraciones de Wolfram .
2. Madden, Charles B. (2005) [1999]. Fib y Phi en la música: la forma musical de la proporción áurea . High Art Press. págs. 14-16. ISBN 978-0967172767.
3. Midhat Gazale (1999). Gnomon: de los faraones a los fractales . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 3. ISBN 9780691005140.
4. Por ejemplo, estos libros: Jan CA Boeyens (2009). Química desde los primeros principios . Saltador. pag. 261. ISBN 9781402085451., PD Frey (2011). Límites de identidad: la exploración personal de un psicólogo . Xlibris Corporation. ISBN 9781465355850.^{[ fuente autoeditada ]} , Russell Howell y James Bradley (2011). Matemáticas a través de los ojos de la fe . HarperCollins. pag. 162. ISBN 978-0062024473., Charles Seife (2000). Zero: La biografía de una idea peligrosa . Pingüino. pag. 40 . ISBN 978-0140296471., Sandra Kynes (2008). Magia del mar: Conectando con la energía del océano . Llewellyn en todo el mundo. pag. 100. ISBN 9780738713533., Bruce Burger (1998). Anatomía esotérica: el cuerpo como conciencia . Libros del Atlántico Norte. pag. 144. ISBN 9781556432248.
5. David Darling (2004). El libro universal de matemáticas: de Abracadabra a las paradojas de Zenón . John Wiley e hijos. pag. 188. ISBN 9780471270478.
6. Devlin, Keith (mayo de 2007). "El mito que no se irá" .
7. Peterson, Ivars (1 de abril de 2005). "Espirales de conchas marinas" . Noticias de ciencia . Sociedad para la ciencia y el público.
8. Priya Hemenway (2005). Proporción divina: Φ Phi en arte, naturaleza y ciencia . Sterling Publishing Co. págs. 127-129. ISBN 1-4027-3522-7.
9. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A212225" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
10. Klaus Mainzer (1996). Simetrías de la naturaleza: un manual de filosofía de la naturaleza y la ciencia . Walter de Gruyter. págs. 45, 199–200. ISBN 3-11-012990-6.
11. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A212224" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
12. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A335605" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.