En matemáticas , y en particular en el campo del álgebra , una serie de Hilbert-Poincaré (también conocida con el nombre de serie Hilbert ), que lleva el nombre de David Hilbert y Henri Poincaré , es una adaptación de la noción de dimensión al contexto de estructuras algebraicas graduadas. (donde la dimensión de toda la estructura es a menudo infinita). Es una serie de poder formal en una indeterminada, digamos, donde el coeficiente de da la dimensión (o rango) de la subestructura de elementos homogéneos de grado . Está estrechamente relacionado con el polinomio de Hilbert en los casos en que este último existe; sin embargo, la serie de Hilbert-Poincaré describe el rango en todos los grados, mientras que el polinomio de Hilbert lo describe solo en todos, pero en un número finito de grados, y por lo tanto proporciona menos información. En particular, la serie de Hilbert-Poincaré no se puede deducir del polinomio de Hilbert incluso si este último existe. En buenos casos, la serie de Hilbert-Poincaré se puede expresar como una función racional de su argumento.
Definición
Sea K un campo, y sea frijol - espacio vectorial graduado sobre K , donde cada subespaciode vectores de grado i es de dimensión finita. Entonces la serie de Hilbert-Poincaré de V es la serie de potencias formales
Se puede dar una definición similar para un -módulo R calificado sobre cualquier anillo conmutativo R en el que cada submódulo de elementos homogéneos de un grado fijo n está libre de rango finito; basta con sustituir la dimensión por el rango. A menudo, el módulo o espacio vectorial graduado del que se considera la serie de Hilbert-Poincaré tiene una estructura adicional, por ejemplo, la de un anillo, pero la serie de Hilbert-Poincaré es independiente de la estructura multiplicativa o de otro tipo.
Ejemplo: dado que hay monomios de grado k en variables (por inducción, digamos), se puede deducir que la suma de la serie de Hilbert-Poincaré de es la función racional . [2]
Teorema de Hilbert-Serre
Suponga que M es un módulo graduado generado finitamente sobrecon un anillo de Artinian (por ejemplo, un campo) A . Entonces la serie de Poincaré de M es un polinomio con coeficientes integrales divididos por. [3] La demostración estándar de hoy es una inducción en n . La demostración original de Hilbert hizo uso del teorema de la sicigia de Hilbert (una resolución proyectiva de M ), que da más información homológica.
Aquí hay una prueba por inducción sobre el número n de indeterminados. Si, entonces, dado que M tiene una longitud finita,si k es lo suficientemente grande. A continuación, suponga que el teorema es cierto paray considere la secuencia exacta de módulos graduados (grados exactos), con la notación,
- .
Dado que la longitud es aditiva, las series Poincaré también son aditivas. Por tanto, tenemos:
- .
Podemos escribir . Dado que K es asesinado por, podemos considerarlo como un módulo calificado sobre ; lo mismo es cierto para C . Por tanto, el teorema se sigue ahora de la hipótesis inductiva.
Complejo de cadena
Un ejemplo de espacio vectorial graduado está asociado a un complejo de cadena , o complejo de cocadena C de espacios vectoriales; este último toma la forma
La serie de Hilbert-Poincaré (aquí a menudo llamada polinomio de Poincaré) del espacio vectorial graduado para este complejo es
El polinomio de Hilbert-Poincaré de la cohomología , con espacios de cohomología H j = H j ( C ), es
Una famosa relación entre los dos es que hay un polinomio con coeficientes no negativos, tales que
Referencias
- ^ Atiyah y MacDonald 1969 , Cap. 11.
- ^ Atiyah y MacDonald 1969 , Cap. 11, un ejemplo justo después de la Proposición 11.3.
- ^ Atiyah y MacDonald 1969 , Cap. 11, Teorema 11.1.
- Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969). Introducción al álgebra conmutativa . Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.