En matemáticas , una gráfica C * -álgebra es una C * -álgebra universal construida a partir de una gráfica dirigida . Las álgebras del gráfico C * son generalizaciones directas de las álgebras de Cuntz y las álgebras de Cuntz-Krieger, pero se ha demostrado que la clase de álgebras del gráfico C * también incluye varias otras clases de álgebras C * ampliamente estudiadas. Como resultado, las gráficas C * -álgebras proporcionan un marco común para investigar muchas clases conocidas de C * -álgebras que se estudiaron previamente de forma independiente. Entre otros beneficios, esto proporciona un contexto en el que se pueden formular teoremas que se aplican simultáneamente a todas estas subclases y contienen resultados específicos para cada subclase como casos especiales.
Aunque las gráficas C * -álgebras incluyen numerosos ejemplos, proporcionan una clase de C * -álgebras que son sorprendentemente fáciles de estudiar y mucho más manejables que las C * -algebras generales. El gráfico no solo determina el álgebra C * asociada especificando relaciones para los generadores, sino que también proporciona una herramienta útil para describir y visualizar las propiedades del álgebra C *. Esta calidad visual ha llevado a que el gráfico C * -álgebras se denomine "álgebras de operador que podemos ver". [1] [2] Otra ventaja de las gráficas C * -álgebras es que gran parte de su estructura y muchas de sus invariantes se pueden calcular fácilmente. Utilizando datos provenientes del gráfico, se puede determinar si el álgebra C * asociada tiene propiedades particulares, describir el entramado de ideales y calcular invariantes de la teoría K.
Terminología gráfica
La terminología de los gráficos utilizada por los álgebraistas C * difiere ligeramente de la utilizada por los teóricos de los gráficos. El término gráfico se suele interpretar en el sentido de un gráfico dirigido que consiste en un conjunto contable de vértices , un conjunto de bordes contables y mapas identificando el rango y la fuente de cada borde, respectivamente. Un vérticese llama fregadero cuando; es decir, no hay bordes en con fuente . Un vérticese llama emisor infinito cuandoes infinito; es decir, hay infinitas aristas en con fuente . Un vértice se llama vértice singular si es un sumidero o un emisor infinito, y un vértice se llama vértice regular si no es un vértice singular. Tenga en cuenta que un vértice es regular si y solo si el número de aristas en con fuente es finito y distinto de cero. Un gráfico se llama finito por filas si no tiene emisores infinitos; es decir, si cada vértice es un vértice regular o un sumidero.
Un camino es una secuencia finita de aristas. con para todos . Un camino infinito es una secuencia infinita de aristas. con para todos . Un ciclo es un camino con , y una salida para un ciclo es una ventaja tal que y para algunos . Un ciclose llama ciclo simple si para todos .
Las siguientes son dos condiciones gráficas importantes que surgen en el estudio de la gráfica C * -álgebras.
Condición (L): Cada ciclo del gráfico tiene una salida.
Condición (K): No hay vértice en el gráfico que esté exactamente en un ciclo simple. De manera equivalente, una gráfica satisface la Condición (K) si y solo si cada vértice en la gráfica está en ningún ciclo o en dos o más ciclos simples.
Las relaciones Cuntz-Krieger y la propiedad universal
Un Cuntz-Krieger-family es una colección en un C * -algebra tal que los elementos de son isometrías parciales con rangos mutuamente ortogonales, los elementos deson proyecciones mutuamente ortogonales y se satisfacen las tres relaciones siguientes (llamadas relaciones de Cuntz-Krieger ):
- (CK1) para todos ,
- (CK2) cuando sea es un vértice regular, y
- (CK3) para todos .
El gráfico C * -álgebra correspondiente a , denotado por , se define como el álgebra C * generada por un Cuntz-Krieger -familia que es universal en el sentido de que siempre que es un Cuntz-Krieger -familia en un C * -álgebra existe un -homomorfismo con para todos y para todos . Existencia de para cualquier gráfico fue establecida por Kumjian, Pask y Raeburn. [3] Singularidad de (hasta -isomorfismo) se deriva directamente de la propiedad universal.
Convención de dirección de borde
Es importante tener en cuenta que existen convenciones en competencia con respecto a la "dirección de los bordes" en las relaciones de Cuntz-Krieger. A lo largo de este artículo, y en la forma en que se establecen las relaciones anteriormente, usamos la convención establecida por primera vez en los artículos seminales sobre el gráfico C * -álgebras. [3] [4] La convención alternativa, que se utiliza en el libro CBMS de Raeburn sobre álgebras gráficas, [5] intercambia los roles del mapa de rango y el mapa fuente en las relaciones Cuntz-Krieger. El efecto de este cambio es que el C * -álgebra de un gráfico para una convención es igual al C * -álgebra del gráfico con los bordes invertidos cuando se usa la otra convención.
Gráficos finitos por filas
En las relaciones de Cuntz-Krieger, (CK2) se impone solo en vértices regulares. Además, si es un vértice regular, entonces (CK2) implica que (CK3) se mantiene en . Además, si es un fregadero, entonces (CK3) se mantiene vacío en . Por tanto, si es un gráfico finito por filas, la relación (CK3) es superflua y una colección de isometrías parciales con rangos mutuamente ortogonales y proyecciones mutuamente ortogonales es un método de Cuntz-Krieger -familia si y solo si la relación en (CK1) se mantiene en todos los bordes en y la relación en (CK2) se mantiene en todos los vértices en que no son lavabos. El hecho de que las relaciones de Cuntz-Krieger tomen una forma más simple para gráficos de filas finitas tiene consecuencias técnicas para muchos resultados en el tema. Los resultados no solo son más fáciles de probar en el caso de filas finitas, sino que también los enunciados de los teoremas se simplifican cuando se describen C * -álgebras de gráficos de filas finitas. Históricamente, gran parte del trabajo inicial sobre el gráfico C * -álgebras se realizó exclusivamente en el caso de filas finitas. Incluso en el trabajo moderno, donde se permiten emisores infinitos y se consideran C * -algebras de gráficos generales, es común enunciar el caso finito de filas de un teorema por separado o como un corolario, ya que los resultados son a menudo más intuitivos y transparentes en este caso. situación.
Ejemplos de
La gráfica C * -álgebra se ha calculado para muchas gráficas. Por el contrario, para ciertas clases de C * -álgebras se ha mostrado cómo construir una gráfica cuya C * -álgebra es-isomórfica o Morita equivalente a una determinada C * -álgebra de esa clase.
La siguiente tabla muestra una serie de gráficos dirigidos y sus C * -álgebras. Usamos la convención de que una flecha doble dibujada de un vértice a otro y etiquetada indica que hay un número infinito contable de aristas desde el primer vértice al segundo.
Gráfico dirigido | Gráfico C * -álgebra |
---|---|
![]() | , los números complejos |
![]() | , las funciones continuas de valor complejo en el círculo |
![]() | , la matrices con entradas en |
![]() | , los operadores compactos en un espacio de Hilbert infinito-diemnsional separable |
![]() | , la matrices con entradas en |
![]() | , el álgebra de Cuntz generada por isometrías |
![]() | , el álgebra de Cuntz generada por un número infinito de isometrías |
![]() | , la unificación del álgebra de operadores compactos |
![]() | , el álgebra de Toeplitz |
Se ha demostrado que la clase de gráficas C * -álgebras contiene varias clases de C * -álgebras. Las C * -álgebras en cada una de las siguientes clases se pueden realizar como gráficas C * -álgebras hasta-isomorfismo:
- Álgebras de Cuntz
- Álgebras de Cuntz-Krieger
- C * -álgebras de dimensión finita
- álgebras de AF estables
Las C * -álgebras en cada una de las siguientes clases se pueden realizar como gráfica C * -álgebras hasta la equivalencia de Morita:
- Álgebras AF [6]
- Álgebras de Kirchberg con grupo K 1 libre
Correspondencia entre el gráfico y las propiedades algebraicas C *
Un aspecto notable del gráfico C * -álgebras es que el gráfico no solo describe las relaciones para los generadores de , sino también varias propiedades teóricas de grafos de puede demostrarse que es equivalente a C * -propiedades algebraicas de . De hecho, gran parte del estudio del gráfico C * -álgebras se ocupa de desarrollar un léxico para la correspondencia entre estas propiedades y establecer teoremas de la forma "El gráfico tiene una cierta propiedad teórica de grafos si y solo si el C * -álgebra tiene una propiedad algebraica C * correspondiente. "La siguiente tabla proporciona una lista corta de algunas de las equivalencias más conocidas.
Propiedad de | Propiedad de |
---|---|
es un gráfico finito. | es de dimensión finita. |
El conjunto de vértices es finito. | es unital (es decir, contiene una identidad multiplicativa). |
no tiene ciclos. | es un álgebra AF. |
satisface las siguientes tres propiedades:
| es simple. |
satisface las siguientes tres propiedades:
| Cada subálgebra hereditaria de contiene una proyección infinita. (Cuándo es simple esto es equivalente a siendo puramente infinito.) |
La acción del calibre
La propiedad universal produce una acción natural del grupo circular. en como sigue: Si es un Cuntz-Krieger universal -familia, luego para cualquier número complejo unimodular , la colección es un Cuntz-Krieger -familia, y la propiedad universal de implica que existe un -homomorfismo con para todos y para todos . Para cada la -homomorfismo es inverso para , y por lo tanto es un automorfismo. Esto produce una acción fuertemente continua definiendo . La acción del calibrea veces se denomina acción de calibre canónica en. Es importante tener en cuenta que la acción de calibre canónica depende de la elección del Cuntz-Krieger generador-familia . La acción de calibre canónico es una herramienta fundamental en el estudio de. Aparece en enunciados de teoremas y también se utiliza entre bastidores como un dispositivo técnico en las demostraciones.
Los teoremas de la unicidad
Hay dos teoremas de unicidad bien conocidos para el gráfico C * -álgebras: el teorema de unicidad invariante de calibre y el teorema de unicidad de Cuntz-Krieger. Los teoremas de unicidad son resultados fundamentales en el estudio del gráfico C * -álgebras, y sirven como piedras angulares de la teoría. Cada uno proporciona condiciones suficientes para un-homomorfismo de en un C * -álgebra para ser inyectable. En consecuencia, los teoremas de unicidad se pueden utilizar para determinar cuándo un C * -algebra generada por un Cuntz-Krieger-familia es isomorfa a ; en particular, si es un álgebra C * generada por un Cuntz-Krieger -familia, la propiedad universal de produce una sobreyectiva -homomorfismo , y los teoremas de unicidad dan condiciones bajo las cuales es inyectivo y, por tanto, un isomorfismo. Los enunciados formales de los teoremas de unicidad son los siguientes:
El teorema de unicidad invariante de calibre: Sea ser un gráfico, y dejar ser el gráfico asociado C * -álgebra. Si es un C * -álgebra y es un -Homomorfismo que cumpla las siguientes dos condiciones:
- existe una acción de calibre tal que para todos , dónde denota la acción de calibre canónica en , y
- para todos ,
luego es inyectable.
El teorema de unicidad de Cuntz-Krieger: Sea ser un gráfico que satisfaga la Condición (L), y sea ser el gráfico asociado C * -álgebra. Si es un C * -álgebra y es un -homomorfismo con para todos , luego es inyectable.
El teorema de unicidad invariante de calibre implica que si es un Cuntz-Krieger -familiar con proyecciones distintas de cero y existe una acción de calibre con y para todos , , y , luego genera una C * -álgebra isomorfa a . El teorema de unicidad de Cuntz-Krieger muestra que cuando la gráfica satisface la Condición (L), la existencia de la acción de calibre es innecesaria; si un grafico satisface la Condición (L), entonces cualquier Cuntz-Krieger -familia con proyecciones distintas de cero genera una C * -álgebra isomorfa a .
Estructura ideal
La estructura ideal de se puede determinar a partir de . Un subconjunto de vérticesse llama hereditario si para todos, implica . Un subconjunto hereditariose llama saturado si siempre es un vértice regular con , luego . Los subconjuntos hereditarios saturados de están parcialmente ordenados por inclusión, y forman una celosía con cumplir y únete definido como el subconjunto hereditario saturado más pequeño que contiene .
Si es un subconjunto hereditario saturado, se define como ideal cerrado de dos caras en generado por . Un ideal cerrado de dos caras de se llama invariante de calibre si para todos y . Los ideales invariantes de calibre están parcialmente ordenados por inclusión y forman una celosía con y conjunta definido como el ideal generado por . Para cualquier subconjunto hereditario saturado, el ideal es invariante de calibre.
El siguiente teorema muestra que los ideales invariantes de gauge corresponden a subconjuntos hereditarios saturados.
Teorema: Seaser un gráfico finito por filas. Entonces la siguiente espera:
- La función es un isomorfismo de celosía de la celosía de subconjuntos hereditarios saturados de en el entramado de ideales invariantes de calibre de con inverso dado por .
- Para cualquier subconjunto hereditario saturado , el cociente es -isomorfo a , dónde es el subgrafo de con conjunto de vértices y conjunto de bordes .
- Para cualquier subconjunto hereditario saturado , el ideal es Morita equivalente a , dónde es el subgrafo de con conjunto de vértices y conjunto de bordes .
- Si satisface la Condición (K), entonces todo ideal de es de calibre invariante, y los ideales de están en correspondencia uno a uno con los subconjuntos hereditarios saturados de .
Desingularización
La desingularización de Drinen-Tomforde , a menudo llamada simplemente desingularización , es una técnica que se utiliza para extender los resultados de las C * -álgebras de gráficos de filas finitas a C * -álgebras de gráficos contables. Si es un gráfico, una desingularización de es un gráfico de filas finitas tal que es la equivalencia de Morita a . [7] Drinen y Tomforde describieron un método para construir una desingularización a partir de cualquier gráfico contable: Si es un gráfico contable, entonces para cada vértice que emite un número infinito de aristas, primero se elige una lista de las aristas salientes como , a continuación se adjunta una cola de la forma
a a , y finalmente uno borra los bordes del gráfico y redistribuye cada uno a lo largo de la cola dibujando un nuevo borde de a para cada .
A continuación se muestran algunos ejemplos para ayudar al lector a comprender esta construcción. Para el primer ejemplo, tenga en cuenta que si es el grafico
luego una desingularización viene dado por la gráfica
Para el segundo ejemplo, suponga es el grafica con un vértice y un número infinito de aristas, cada una comenzando y terminando en este vértice. Luego una desingularización viene dado por la gráfica
La desingularización se ha convertido en una herramienta estándar en la teoría del gráfico C * -álgebras, [8] y puede simplificar las pruebas de resultados al permitir que uno primero pruebe el resultado en el caso finito de filas (generalmente mucho más fácil), y luego extender el resultado en gráficos contables a través de la desingularización, a menudo con poco esfuerzo adicional.
La técnica de desingularización puede no funcionar para gráficos que contienen un vértice que emite un número incontable de aristas. Sin embargo, en el estudio de las álgebras C * es común restringir la atención a las álgebras C * separables . Dado que una gráfica C * -álgebra es separable precisamente cuando el gráfico es contable, gran parte de la teoría del gráfico C * -álgebras se ha centrado en gráficos contables.
K-teoría
Los grupos K de un gráfico C * -álgebra se pueden calcular completamente en términos de información proveniente del gráfico. Sies un gráfico finito por filas, la matriz de vértices de es el matriz con entrada definido como el número de aristas en de a . Desde es finito por filas, tiene entradas en y cada fila de tiene sólo un número finito de entradas distintas de cero. (De hecho, aquí es de donde proviene el término "finito de filas".) En consecuencia, cada columna de la transpuesta contiene solo un número finito de entradas distintas de cero, y obtenemos un mapa dado por multiplicación por la izquierda. Asimismo, si denota el matriz de identidad, entonces proporciona un mapa dado por multiplicación por la izquierda.
Teorema: Sea ser un gráfico finito de filas sin sumideros, y dejar denotar la matriz de vértice de . Luego
Desde es isomorfo a un subgrupo del grupo libre , podemos concluir que es un grupo libre. Se puede demostrar que en el caso general (es decir, cuando se permite contener sumideros o emisores infinitos) que sigue siendo un grupo libre. Esto permite producir ejemplos de C * -álgebras que no son gráficas C * -álgebras: Cualquier C * -álgebra con un grupo K 1 no libre no es equivalente de Morita (y por lo tanto no es isomorfo) a una gráfica C * - álgebra.
Notas
- ^ Conferencia de 2004 NSF-CBMS sobre álgebras de gráficos [1]
- ^ Premio NSF [2]
- ^ a b Álgebras de gráficos dirigidos de Cuntz-Krieger, Alex Kumjian, David Pask e Iain Raeburn, Pacific J. Math. 184 (1998), núm. 1, 161-174.
- ^ Las C * -algebras de gráficos finitos por filas, Teresa Bates, David Pask, Iain Raeburn y Wojciech Szymański, Nueva York J. Math. 6 (2000), 307–324.
- ^ Álgebras de gráficos, Iain Raeburn, Serie de conferencias regionales de CBMS en matemáticas, 103. Publicado para el Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; por la Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI, 2005. vi + 113 págs. ISBN 0-8218-3660-9
- ^ Ver AF-álgebras como álgebras de gráficos , Doug Drinen, Proc. Amer. Matemáticas. Soc., 128 (2000), págs. 1991–2000.
- ^ Las C * -álgebras de gráficos arbitrarios, Doug Drinen y Mark Tomforde, Rocky Mountain J. Math. 35 (2005), núm. 1, 105-135.
- ^ Capítulo 5 de Álgebras de gráficos, Iain Raeburn, Serie de conferencias regionales de CBMS en matemáticas, 103. Publicado para el Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; por la Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI, 2005. vi + 113 págs. ISBN 0-8218-3660-9