En matemáticas , específicamente en el análisis estocástico , la medida de Green es una medida asociada a una difusión de Itō . Existe una fórmula de Green asociada que representa funciones adecuadamente suaves en términos de la medida de Green y los tiempos de primera salida de la difusión. Los conceptos llevan el nombre del matemático británico George Green y son generalizaciones de la función de Green clásica y la fórmula de Green al caso estocástico utilizando la fórmula de Dynkin .
Notación
Sea X una difusión de Itō con valor R n que satisfaga una ecuación diferencial estocástica de Itō de la forma
Deje P x denotan la ley de X dada la condición inicial X 0 = x , y dejar E x denotan expectativa con respecto a P x . Sea L X el generador infinitesimal de X , es decir
Deje D ⊆ R n ser una abierta , delimitada de dominio; sea τ D el primer tiempo de salida de X desde D :
La medida verde
Intuitivamente, la medida verde de un conjunto de Borel H (con respecto a un punto x y dominio D ) es la longitud esperada de tiempo que X , después de haber iniciado en x , estancias en H antes de que salga el dominio D . Es decir, la medida de Green de X con respecto a D en x , denotada G ( x , ·), se define para los conjuntos de Borel H ⊆ R n por
o para funciones continuas acotadas f : D → R por
El nombre "medida verde" proviene del hecho de que si X es un movimiento browniano , entonces
donde G ( x , y ) es la función de Green para el operador L X (que, en el caso del movimiento browniano, es ½Δ, donde Δ es el operador de Laplace ) en el dominio D .
La fórmula verde
Suponga que E x [ τ D ] <+ ∞ para todo x ∈ D , y sea f : R n → R de clase de suavidad C 2 con soporte compacto . Luego
En particular, para C 2 funciones f con soporte integrado de forma compacta en D ,
La prueba de la fórmula de Green es una fácil aplicación de la fórmula de Dynkin y la definición de la medida Green:
Referencias
- Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (Sexta ed.). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1. SEÑOR2001996 (Vea la Sección 9)