Golpeando el tiempo

En el estudio de los procesos estocásticos en matemáticas , un momento de acierto (o tiempo de primer acierto ) es la primera vez que un proceso dado "golpea" un subconjunto dado del espacio de estados. Los tiempos de salida y de regreso también son ejemplos de tiempos de golpe.

Definiciones

Sea T un conjunto de índices ordenados como los números naturales , N , los números reales no negativos , [0, + ∞), o un subconjunto de estos; los elementos t ∈ T se pueden considerar como "tiempos". Dado un espacio de probabilidad (Ω, Σ, Pr) y un estado mensurable espacio S , dejar que X : Ω × T → S sea un proceso estocástico , y dejar que A sea un subconjunto medible del espacio de estado S . Entonces, el primer tiempo de acierto τ _A : Ω → [0, + ∞] es la variable aleatoria definida por

{\ Displaystyle \ tau _ {A} (\ omega): = \ inf \ {t \ in T \ mid X_ {t} (\ omega) \ in A \}.}

El primer tiempo de salida (de A ) se define como la primera vez golpe para S \ A , el complemento de A en S . Confusamente, esto es también a menudo se representa por τ _A . ^[1]

El primer tiempo de retorno se define como el primer tiempo de acierto para el conjunto singleton { X ₀ ( ω )}, que suele ser un elemento determinista dado del espacio de estados, como el origen del sistema de coordenadas.

Ejemplos de

Cualquier momento de parada es un momento decisivo para un proceso y un conjunto de objetivos seleccionados correctamente. Esto se sigue de la inversa del teorema de Début (Fischer, 2013).
Sea B el movimiento browniano estándar en la línea real R que comienza en el origen. A continuación, el tiempo de bateo τ _A satisface los requisitos mensurabilidad de ser un tiempo de parada para cada conjunto medible Borel A ⊆ R .
Para B como arriba, sea ( ) el primer tiempo de salida para el intervalo (- r , r ), es decir, el primer tiempo de acceso para (−∞, - r ] ∪ [ r , + ∞). Entonces el valor esperado y la varianza de satisfacer ${\ Displaystyle \ tau _ {r}}$ ${\ Displaystyle r> 0}$ ${\ Displaystyle \ tau _ {r}}$

{\ Displaystyle \ operatorname {E} \ left [\ tau _ {r} \ right] = r ^ {2},}

{\ Displaystyle \ operatorname {Var} \ left [\ tau _ {r} \ right] = (2/3) r ^ {4}.}

Para B como arriba, el tiempo de golpear un solo punto (diferente del punto de partida 0) tiene la distribución de Lévy .

Teorema de Début

El tiempo de golpear de un conjunto F también es conocido como el debut de F . El teorema de Début dice que el tiempo de impacto de un conjunto F mensurable , para un proceso progresivamente mensurable , es un tiempo de parada. Los procesos progresivamente mensurables incluyen, en particular, todos los procesos adaptados continuos de derecha e izquierda . La prueba de que el debut es mensurable es bastante complicada e involucra propiedades de conjuntos analíticos . El teorema requiere que el espacio de probabilidad subyacente sea completo o, al menos, universalmente completo.

Lo contrario del teorema de Début establece que cada tiempo de parada definido con respecto a una filtración sobre un índice de tiempo de valor real puede representarse por un tiempo de golpe. En particular, para esencialmente cualquier tiempo de parada de este tipo existe un proceso adaptado, no creciente con trayectos de càdlàg (RCLL) que toma los valores 0 y 1 únicamente, de modo que el tiempo de activación del conjunto por este proceso es el tiempo de parada considerado. La prueba es muy sencilla. ^[2] ${\ Displaystyle \ {0 \}}$

Ver también

Detener el tiempo

Referencias

↑ Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (Sexta ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2.
^ Fischer, Tom (2013). "Sobre representaciones simples de tiempos de parada y tiempos de parada sigma-álgebras". Estadísticas y letras de probabilidad . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . doi : 10.1016 / j.spl.2012.09.024 .

[1] Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (Sexta ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2.

[Fischer_(2013)-2] Fischer, Tom (2013). "Sobre representaciones simples de tiempos de parada y tiempos de parada sigma-álgebras". Estadísticas y letras de probabilidad . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . doi : 10.1016 / j.spl.2012.09.024 .

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