Desigualdad de Griffiths

En mecánica estadística , la desigualdad de Griffiths , a veces también llamada desigualdad de Griffiths-Kelly-Sherman o desigualdad de GKS , llamada así por Robert B. Griffiths , es una desigualdad de correlación para sistemas de espín ferromagnético . De manera informal, dice que en los sistemas de espín ferromagnéticos, si la "distribución a-priori" del espín es invariante bajo cambio de espín, la correlación de cualquier monomio de los espines no es negativa; y la correlación de dos puntos de dos monomios de los giros no es negativa.

La desigualdad fue probada por Griffiths para ferromagnetos Ising con interacciones de dos cuerpos, ^[1] luego generalizada por Kelly y Sherman a interacciones que implican un número arbitrario de espines, ^[2] y luego por Griffiths a sistemas con espines arbitrarios. ^[3] Ginibre dio una formulación más general , ^[4] y ahora se llama la desigualdad de Ginibre .

Definiciones

Sea una configuración de espines (continuos o discretos) en una celosía Λ . Si A ⊂ lambda es una lista de sitios de celosía, posiblemente con duplicados, vamos a ser el producto de las vueltas en una .${\displaystyle \textstyle \sigma =\{\sigma _{j}\}_{j\in \Lambda }}$ ${\displaystyle \textstyle \sigma _{A}=\prod _{j\in A}\sigma _{j}}$

Asignar una medida a priori dμ (σ) en los giros; sea H una energía funcional de la forma

${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{A}J_{A}\sigma _{A}~,}$

donde la suma está sobre listas de sitios A , y deje

${\displaystyle Z=\int d\mu (\sigma )e^{-H(\sigma )}}$

ser la función de partición . Como siempre,

${\displaystyle \langle \cdot \rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{\sigma }\cdot (\sigma )e^{-H(\sigma )}}$

representa el promedio del conjunto .

El sistema se denomina ferromagnético si, para cualquier lista de sitios A , J _A ≥ 0 . El sistema se llama invariante bajo giro de giro si, para cualquier j en Λ , la medida μ se conserva bajo el mapa de giro de signo σ → τ , donde

${\displaystyle \tau _{k}={\begin{cases}\sigma _{k},&k\neq j,\\-\sigma _{k},&k=j.\end{cases}}}$

Declaración de desigualdades

Primera desigualdad de Griffiths

En un sistema de espín ferromagnético que es invariante bajo cambio de espín,

${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle \geq 0}$

para cualquier lista de giros Una .

Segunda desigualdad de Griffiths

En un sistema de espín ferromagnético que es invariante bajo cambio de espín,

${\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle }$

por cualquier lista de giros A y B .

La primera desigualdad es un caso especial de la segunda, correspondiente a B = ∅.

Prueba

Observe que la función de partición no es negativa por definición.

Prueba de la primera desigualdad : ampliar

${\displaystyle e^{-H(\sigma )}=\prod _{B}\sum _{k\geq 0}{\frac {J_{B}^{k}\sigma _{B}^{k}}{k!}}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}\sigma _{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}~,}$

luego

${\displaystyle {\begin{aligned}Z\langle \sigma _{A}\rangle &=\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}e^{-H(\sigma )}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}\sigma _{B}^{k_{B}}\\&=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\prod _{j\in \Lambda }\sigma _{j}^{n_{A}(j)+k_{B}n_{B}(j)}~,\end{aligned}}}$

donde n _A (j) representa el número de veces que j aparece en A . Ahora, por invariancia bajo giro,

${\displaystyle \int d\mu (\sigma )\prod _{j}\sigma _{j}^{n(j)}=0}$

si al menos un n (j) es impar, y la misma expresión es obviamente no negativa para valores pares de n . Por lo tanto, Z < σ _A > ≥0, por lo tanto también < σ _A > ≥0.

Prueba de segunda desigualdad . Para la segunda desigualdad de Griffiths, duplique la variable aleatoria, es decir, considere una segunda copia del giro , con la misma distribución de . Luego${\displaystyle \sigma '}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle =\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle ~.}$

Introduce las nuevas variables

${\displaystyle \sigma _{j}=\tau _{j}+\tau _{j}'~,\qquad \sigma '_{j}=\tau _{j}-\tau _{j}'~.}$

El sistema duplicado es ferromagnético en porque es un polinomio en con coeficientes positivos${\displaystyle \langle \langle \;\cdot \;\rangle \rangle }$${\displaystyle \tau ,\tau '}$${\displaystyle -H(\sigma )-H(\sigma ')}$${\displaystyle \tau ,\tau '}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{A}J_{A}(\sigma _{A}+\sigma '_{A})&=\sum _{A}J_{A}\sum _{X\subset A}\left[1+(-1)^{|X|}\right]\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}\end{aligned}}}$

Además, la medida activada es invariante con el giro de giro porque lo es. Finalmente los monomios , son polinomios con coeficientes positivos${\displaystyle \tau ,\tau '}$${\displaystyle d\mu (\sigma )d\mu (\sigma ')}$${\displaystyle \sigma _{A}}$${\displaystyle \sigma _{B}-\sigma '_{B}}$${\displaystyle \tau ,\tau '}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{A}&=\sum _{X\subset A}\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}~,\\\sigma _{B}-\sigma '_{B}&=\sum _{X\subset B}\left[1-(-1)^{|X|}\right]\tau _{B\setminus X}\tau '_{X}~.\end{aligned}}}$

La primera desigualdad de Griffiths aplicada da el resultado.${\displaystyle \langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle }$

Más detalles están en ^[5] y. ^[6]

Extensión: desigualdad de Ginibre

La desigualdad de Ginibre es una extensión, encontrada por Jean Ginibre, ^[4] de la desigualdad de Griffiths.

Formulación

Sea (Γ,  μ ) un espacio de probabilidad . Para las funciones f ,  h en Γ, denote

${\displaystyle \langle f\rangle _{h}=\int f(x)e^{-h(x)}\,d\mu (x){\Big /}\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).}$

Sea A un conjunto de funciones reales en Γ tales que. para cada f ₁ , f ₂ , ..., f _n en A , y para cualquier elección de signos ±,

${\displaystyle \iint d\mu (x)\,d\mu (y)\prod _{j=1}^{n}(f_{j}(x)\pm f_{j}(y))\geq 0.}$

Entonces, para cualquier f , g , - h en el cono convexo generado por A ,

${\displaystyle \langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\geq 0.}$

Prueba

Dejar

${\displaystyle Z_{h}=\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).}$

Luego

${\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{h}^{2}\left(\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\right)\\&\qquad =\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y))e^{-h(x)-h(y)}\\&\qquad =\sum _{k=0}^{\infty }\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y)){\frac {(-h(x)-h(y))^{k}}{k!}}.\end{aligned}}}$

Ahora bien, la desigualdad se sigue del supuesto y de la identidad

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}(f(x)+f(y))+{\frac {1}{2}}(f(x)-f(y)).}$

Ejemplos de

• Para recuperar la (segunda) desigualdad de Griffiths, tome Γ = {−1, +1} ^Λ , donde Λ es una celosía, y sea μ una medida en Γ que es invariante bajo el signo invertido. El cono A de polinomios con coeficientes positivos satisface los supuestos de la desigualdad de Ginibre.
• (Γ,  μ ) es un grupo compacto conmutativo con la medida de Haar , A es el cono de funciones definidas positivas reales en Γ.
• Γ es un conjunto totalmente ordenado , A es el cono de funciones no decrecientes positivas reales en Γ. Esto produce la desigualdad de suma de Chebyshev . Para ampliar a conjuntos parcialmente ordenados, consulte Desigualdad de FKG .

Aplicaciones

• El límite termodinámico de las correlaciones del modelo de Ising ferromagnético (con no negativo campo externo h existe y gratuitas condiciones de contorno).

Esto se debe aumentar el volumen es el mismo que el cambio en los nuevos acoplamientos J _B para un determinado subconjunto B . Por la segunda desigualdad de Griffiths

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial J_{B}}}\langle \sigma _{A}\rangle =\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle \geq 0}$

Por tanto, aumenta monótonamente con el volumen; entonces converge ya que está limitado por 1.${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle }$

• El modelo de Ising ferromagnético unidimensional con interacciones muestra una transición de fase si .${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$${\displaystyle 1<\alpha <2}$

Esta propiedad se puede mostrar en una aproximación jerárquica, que difiere del modelo completo por la ausencia de algunas interacciones: argumentando como se indicó anteriormente con la segunda desigualdad de Griffiths, los resultados se transfieren al modelo completo. ^[7]

• La desigualdad de Ginibre proporciona la existencia del límite termodinámico para las correlaciones de energía libre y espín para el modelo XY clásico bidimensional . ^[4] Además, a través de la desigualdad de Ginibre, Kunz y Pfister demostraron la presencia de una transición de fase para el modelo ferromagnético XY con interacción if .${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$${\displaystyle 2<\alpha <4}$
• Aizenman y Simon ^[8] usaron la desigualdad de Ginibre para demostrar que la correlación de espín de dos puntos del modelo ferromagnético clásico XY en dimensión , acoplamiento y temperatura inversa está dominada por (es decir, tiene un límite superior dado por) la correlación de dos puntos del Ising ferromagnético modelo en dimensión , acoplamiento y temperatura inversa${\displaystyle D}$${\displaystyle J>0}$${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle J>0}$${\displaystyle \beta /2}$

${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }}$

Por lo tanto, la temperatura crítica del modelo XY no puede ser menor que el doble de la temperatura crítica del modelo de Ising.${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}~;}$

en la dimensión D = 2 y el acoplamiento J = 1, esto da

${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq \ln(1+{\sqrt {2}})\approx 0.88~.}$

• Existe una versión de la desigualdad de Ginibre para el gas de Coulomb que implica la existencia de un límite termodinámico de correlaciones. ^[9]
• Otras aplicaciones (transiciones de fase en sistemas de espín, modelo XY, cadena cuántica XYZ) se revisan en. ^[10]

Referencias

1. Griffiths, RB (1967). "Correlaciones en Ising Ferromagnets. I". J. Math. Phys . 8 (3): 478–483. doi : 10.1063 / 1.1705219 .
2. Kelly, DJ; Sherman, S. (1968). "Desigualdades del general Griffiths sobre correlaciones en ferromagnetos de Ising". J. Math. Phys . 9 (3): 466–484. doi : 10.1063 / 1.1664600 .
3. Griffiths, RB (1969). "Resultados rigurosos para Ising Ferromagnets de giro arbitrario". J. Math. Phys . 10 (9): 1559-1565. doi : 10.1063 / 1.1665005 .
4. Ginibre, J. (1970). "Formulación general de las desigualdades de Griffiths". Comm. Matemáticas. Phys . 16 (4): 310–328. doi : 10.1007 / BF01646537 . S2CID 120649586 . 
5. Glimm, J .; Jaffe, A. (1987). Física cuántica. Un punto de vista funcional integral . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96476-2.
6. Friedli, S .; Velenik, Y. (2017). Mecánica estadística de sistemas de celosía: una introducción matemática concreta . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.
7. Dyson, FJ (1969). "Existencia de una transición de fase en un ferromagnet Ising unidimensional". Comm. Matemáticas. Phys . 12 (2): 91-107. doi : 10.1007 / BF01645907 . S2CID 122117175 . 
8. Aizenman, M .; Simon, B. (1980). "Una comparación de los modelos de rotor plano y Ising". Phys. Letón. Una . 76 (3–4): 281–282. doi : 10.1016 / 0375-9601 (80) 90493-4 .
9. Fröhlich, J .; Park, YM (1978). "Desigualdades de correlación y el límite termodinámico para sistemas continuos clásicos y cuánticos". Comm. Matemáticas. Phys . 59 (3): 235–266. doi : 10.1007 / BF01611505 . S2CID 119758048 . 
10. Griffiths, RB (1972). "Teoremas y resultados rigurosos". En C. Domb y MSGreen (ed.). Transiciones de fase y fenómenos críticos . 1 . Nueva York: Academic Press. pag. 7.