En geometría algebraica , un apilamiento F sobre una categoría C equipada con alguna topología de Grothendieck es una categoría junto con un funtor p : F → C que satisface una determinada condición de elevación y tal que (cuando las fibras son grupoides) los objetos localmente isomorfos son isomorfos. Una pila es un apilamiento previo con descensos efectivos, lo que significa que los objetos locales se pueden unir para convertirse en un objeto global.
Los preapilamientos que aparecen en la naturaleza suelen ser apilamientos, pero algunos preapilamientos construidos ingenuamente (por ejemplo, el esquema de grupo o el preapilamiento de paquetes de vectores proyectivizados ) pueden no ser apilamientos. Las preapiladas se pueden estudiar solas o pasar a las pilas .
Dado que una pila es un apilamiento previo, todos los resultados de los apilamientos previos también son válidos para los apilamientos. A lo largo del artículo, trabajamos con una categoría base fija C ; por ejemplo, C puede ser la categoría de todos los esquemas sobre algún esquema fijo equipado con alguna topología de Grothendieck .
Definición informal
Sea F una categoría y suponga que tiene fibra sobre C a través del funtor; esto significa que se pueden construir retrocesos a lo largo de morfismos en C , hasta isomorfismos canónicos.
Dado un objeto U en C y los objetos x , y en, para cada morfismo en C , después de corregir los retrocesos, dejamos [1] [2]
ser el conjunto de todos los morfismos de a ; aquí, el corchete significa que identificamos canónicamente diferentes conjuntos de Hom resultantes de diferentes elecciones de retrocesos. Para cadasobre U , defina el mapa de restricción de f a g : ser la composicion
donde un isomorfismo canónico se usa para obtener el = a la derecha. Luegoes una gavilla en la categoría de rebanada , La categoría de todos los morfismos en C con objetivo T .
Por definición, F es un apilamiento previo si, para cada par x , y ,es un conjunto de conjuntos con respecto a la topología de Grothendieck inducida en.
Esta definición se puede redactar de manera equivalente de la siguiente manera. [3] Primero, para cada familia de cobertura, "definimos" la categoría como una categoría donde: escritura , etc.,
- un objeto es un conjunto de pares formados por objetos en e isomorfismos que satisfacen la condición de ciclo:
- un morfismo consiste en en tal que
Un objeto de esta categoría se denomina dato de descenso. Esta categoría no está bien definida ; el problema es que los retrocesos se determinan solo hasta los isomorfismos canónicos; de manera similar, los productos de fibra se definen solo hasta los isomorfismos canónicos, a pesar de la práctica de notación en sentido contrario. En la práctica, uno simplemente hace algunas identificaciones canónicas de los retrocesos, sus composiciones, productos de fibra, etc .; hasta tales identificaciones, la categoría anterior está bien definida (en otras palabras, se define hasta una equivalencia canónica de categorías).
Hay un functor obvio que envía un objeto al dato de descenso que define. Entonces se puede decir: F es un apilamiento previo si y solo si, para cada familia de cobertura, el functor es totalmente fiel. Una declaración como esta es independiente de las opciones de identificaciones canónicas mencionadas anteriormente.
La imagen esencial de consiste precisamente en datos de descenso efectivos (solo la definición de "efectivo"). Por lo tanto, F es una pila si y solo si, para cada familia de cobertura, es una equivalencia de categorías.
Estas reformulaciones de las definiciones de apilamientos y apilamientos hacen que los significados intuitivos de esos conceptos sean muy explícitos: (1) "categoría fibrada" significa que se puede construir un retroceso (2) "preapilamiento en groupoids" además significa "localmente isomórfico" implica "isomorfo" ( 3) "pila en agrupaciones" significa, además de las propiedades anteriores, que se puede construir un objeto global a partir de datos locales sujetos a condiciones de ciclo. Todos estos funcionan a isomorfismos canónicos .
Morfismos
Definiciones
Dados apilamientos sobre la categoría de base fija C , un morfismo es un functor tal que (1) y (2) mapea morfismos cartesianos a morfismos cartesianos. La nota (2) es automática si G tiene fibras en grupos; por ejemplo, una pila algebraica (ya que todos los morfismos son cartesianos entonces).
Si es la pila asociada a un esquema S en la categoría base C , entonces la fibraes, por construcción, el conjunto de todos los morfismos de T a S en C . De manera análoga, dado un esquema U en C visto como una pila (es decir,) y una categoría F fibrada en grupos sobre C , el lema 2-Yoneda dice: hay una equivalencia natural de categorías [4]
dónde se refiere a la categoría de functor relativo ; los objetos son los functores de U a F sobre C y los morfismos son las transformaciones naturales que preservan la base. [5]
Producto de fibra
Dejar Ser morfismos de apilamientos. Entonces, por definición, [6] el producto de fibra es la categoría donde
- un objeto es un triple que consta de un objeto x en F , un objeto y en G , ambos sobre el mismo objeto en C , y un isomorfismoen G sobre el morfismo de identidad en C , y
- un morfismo consiste en en F ,en G , ambos sobre el mismo morfismo en C , de modo que.
Viene con los functores olvidadizos p , q dea F y G .
Este producto de fibra se comporta como un producto de fibra habitual pero con isomorfismos naturales. El significado de esto es el siguiente. En primer lugar, la plaza obvia no conmuta; en cambio, para cada objeto en :
- .
Es decir, hay una transformación natural invertible (= isomorfismo natural)
- .
En segundo lugar, satisface la propiedad universal estricta: dado un preapilado H , morfismos, , un isomorfismo natural , existe un junto con isomorfismos naturales y tal que es . En general, un producto de fibra de F y G sobre B es un preapilado canónicamente isomorfo a sobre.
Cuando B es la categoría base C (el apilamiento previo sobre sí mismo), B se descarta y uno simplemente escribe. Tenga en cuenta, en este caso, en los objetos están todas las identidades.
Ejemplo : para cada preapilado, existe el morfismo diagonal dada por .
Ejemplo : dado, . [7]
Ejemplo : dado y el morfismo diagonal ,
- ;
este isomorfismo se construye simplemente a mano.
Morfismos representables
Un morfismo de apilamientos se dice que es fuertemente representable si, para cada morfismode un esquema S en C visto como un preapilado, el producto de fibrade prestacks es un esquema en el C .
En particular, la definición se aplica al mapa de estructura. (la categoría base C es un apilamiento previo sobre sí mismo a través de la identidad). Entonces p es fuertemente representable si y solo sies un esquema en el C .
La definición se aplica también al morfismo diagonal. . Si es fuertemente representable, entonces cada morfismo de un esquema U es fuertemente representable ya queestá fuertemente representable para cualquier T → X .
Si es un morfismo fuertemente representable, para cualquier , S un esquema visto como un apilamiento, la proyecciónes un morfismo de esquemas ; esto permite transferir muchas nociones de propiedades sobre morfismos de esquemas al contexto de la pila. Es decir, sea P una propiedad sobre morfismos en la categoría base C que es estable bajo cambios de base y que es local en la topología de C (por ejemplo, topología étale o topología suave ). Entonces un morfismo fuertemente representablede apilamientos se dice que tiene la propiedad P si, para cada morfismo, T un esquema visto como un apilamiento, la proyección inducidatiene la propiedad P .
Ejemplo: el apilamiento dado por una acción de un grupo algebraico
Sea G un grupo algebraico que actúa desde la derecha en un esquema X de tipo finito sobre un campo k . Luego, la acción de grupo de G sobre X determina un apilamiento previo (pero no una pila) sobre la categoría C de esquemas k , de la siguiente manera. Sea F la categoría donde
- un objeto es un par que consiste en un esquema de U en C y x en el conjunto,
- un morfismo consiste en un en C y un elementotal que xg = y ' donde escribimos.
A través de la funtor de olvido a C , esta categoría F se Fibered en grupoides y se conoce como un groupoid acción o un groupoid transformación. También puede denominarse cociente de preapilado de X por G y denotarse como, ya que, como resulta, la apilamiento de la misma es el cociente de la pila . La construcción es un caso especial de formar #El apilamiento de clases de equivalencia ; en particular, F es un apilamiento previo.
Cuando X es un puntoy G es afín, el cocientees el apilamiento clasificación de G y su stackification es la pila de clasificación de G .
Al ver X como un apilamiento (de hecho, una pila), existe el mapa canónico obvio
sobre C ; explícitamente, cada objetoen el apilamiento X va a sí mismo, y cada morfismo, satisfaciendo x es igual apor definición, va al elemento del grupo de identidad de G ( U ).
Luego, el mapa canónico anterior encaja en un 2- coequalizador (un 2-cociente ):
- ,
donde t : ( x , g ) → xg es la acción grupal dada ys una proyección. No es 1-coequalizer ya que, en lugar de la igualdad, uno tiene dada por
El apilamiento de clases de equivalencia
Deje que X sea un esquema en la categoría de base C . Por definición, una prerelación de equivalencia es un morfismoen C tal que, para cada esquema T en C , la funcióntiene la imagen que es una relación de equivalencia . El prefijo "pre" se debe a que no requerimospara ser una función inyectiva .
Ejemplo : Sea un grupo algebraico G que actúe sobre un esquema X de tipo finito sobre un campo k . Llevary luego para cualquier esquema T sobre k sea
Según el lema de Yoneda , esto determina un morfismo f , que es claramente una prerelación de equivalencia.
A cada pre-relación de equivalencia dada (+ algunos datos más), hay un preapilado F asociado que se define de la siguiente manera. [8] En primer lugar, F es una categoría donde: con las notaciones,
- un objeto es un par que consta de un esquema T y un morfismo x : T → X en C
- un morfismo consiste en un y tal que y
- La composición de seguido por consiste en y obtenido de la siguiente manera: desde , por la propiedad universal, hay un mapa inducido
- .
- el morfismo de identidad de un objeto consiste en el mapa de identidad T → T y δ que es seguido por ; este último se obtiene factorizando el morfismo diagonal a través de f , posible por reflexividad.
A través de un functor olvidadizo, la categoría F se estructura en grupos. Finalmente, comprobamos que F es un apilamiento previo; [9] para eso, observe: para los objetos x , y en F ( U ) y un objeto en ,
Ahora, esto significa que es el producto de fibra de y . Dado que el producto de fibra de las gavillas es una gavilla, se deduce que es una gavilla.
El apilado F anterior puede escribirse como y su apilamiento se escribe como .
Tenga en cuenta que cuando X se ve como una pila, tanto X comotienen el mismo conjunto de objetos. En el nivel de morfismo, mientras que X solo tiene morfismos de identidad como morfismos, el apilamiento tienen morfismos adicionales especificado por la pre-relación de equivalencia f .
Una importancia de esta construcción es que proporciona un atlas para un espacio algebraico: cada espacio algebraico tiene la formapara algunos esquemas U , R y una pre-relación de equivalencia étaletal que, para cada T , es una función inyectiva ("étale" significa los dos mapas posibles son étale.)
Partiendo de una pila Deligne-Mumford , se puede encontrar una pre-relación de equivalencia para algunos esquemas R , U de modo que es la apilamiento del preapilamiento asociado a él: . [10] Esto se hace de la siguiente manera. Por definición, hay un morfismo sobreyectivo étalede algún esquema T . Dado que la diagonal es claramente representable, el producto de fibra es un esquema (es decir, representado por un esquema) y luego dejemos
ser la primera y segunda proyecciones. Tomando, vemos es una pre-relación de equivalencia. Terminamos, aproximadamente, de la siguiente manera.
- Ampliar a (nada cambia a nivel de objeto; solo necesitamos explicar cómo enviar .)
- Por la propiedad universal de apilamiento, factores a través de .
- Compruebe que el último mapa es un isomorfismo.
Pilas asociadas a pilas
Existe una forma de asociar una pila a un preapilado determinado. Es similar a la gavilla de una antesheaf y se llama apilamiento . La idea de la construcción es bastante simple: dado un apilamiento, dejamos que HF sea la categoría donde un objeto es un dato de descenso y un morfismo es el de un dato de descenso. (Los detalles se omiten por ahora)
Resulta que es una pila y viene con un morfismo natural. tal que F es una pila si y solo si θ es un isomorfismo.
En algunos casos especiales, la apilamiento se puede describir en términos de torsores para esquemas de grupos afines o las generalizaciones. De hecho, de acuerdo con este punto de vista, una pila en groupoids no es más que una categoría de torsores, y un pre-apilamiento una categoría de torsores triviales, que son modelos locales de torsores.
Notas
- ↑ Vistoli , § 3.7.
- ^ Alg , cap. 4., § 1.
- ^ Vistoli , definición 4.6.
- ↑ Vistoli , § 3.6.2.
- ↑ Vistoli , Definición 3.33.
- ^ Alg , definición 2.25.
- ^ Alg , ejemplo 2.29.
- ^ Alg , definición 3.13.
- ^ El argumento aquí es el Lema 25.6. de las notas de la conferencia de M. Olsson sobre pilas .
- ^ Alg , Proposición 5.20. y Alg , Teorema 4.35. . Nota editorial: la referencia usa el lenguaje de los esquemas grupales, pero un esquema grupoide que usan es el mismo que una prerelación de equivalencia usada aquí; compare la Proposición 3.6. y las verificaciones a continuación.
Referencias
- Behrend, Kai; Conrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006), Pilas algebraicas , archivado desde el original el 5 de mayo de 2008 , consultado el 13 de junio de 2017
- Vistoli, Angelo (2005), "Topologías de Grothendieck, categorías fibradas y teoría de la descendencia", Geometría algebraica fundamental , Matemáticas. Encuestas Monogr., 123 , Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 1-104, arXiv : math / 0412512 , Bibcode : 2004math ..... 12512V , MR 2223406
enlaces externos
- Dai Tamaki (7 de agosto de 2019). "Prestacks y categorías fibradas" .