En topología geométrica y topología diferencial , un cobordismo W ( n + 1)-dimensional entre variedades n -dimensionales M y N es un cobordismo h (la h significa equivalencia de homotopía ) si la inclusión mapea
El teorema del h -cobordismo da condiciones suficientes para que un h -cobordismo sea trivial, es decir, que sea C -isomorfo al cilindro M × [0, 1]. Aquí C se refiere a cualquiera de las categorías de variedades suaves , lineales por partes o topológicas .
El teorema fue demostrado por primera vez por Stephen Smale por lo que recibió la Medalla Fields y es un resultado fundamental en la teoría de las variedades de alta dimensión. Para empezar, demuestra casi de inmediato la conjetura generalizada de Poincaré .
Antes de que Smale probara este teorema, los matemáticos se atascaron al tratar de comprender las variedades de dimensión 3 o 4, y asumieron que los casos de dimensiones superiores eran aún más difíciles. El teorema del h -cobordismo mostró que las variedades (simplemente conexas) de dimensión al menos 5 son mucho más fáciles que las de dimensión 3 o 4. La demostración del teorema depende del " truco de Whitney " de Hassler Whitney , que desenreda geométricamente esferas de dimensión complementaria en una variedad de dimensión >4. Una razón informal por la que las variedades de dimensión 3 o 4 son inusualmente difíciles es que el truco no funciona en dimensiones más bajas, que no tienen espacio para entrelazarse.
Sea n al menos 5 y sea W un h -cobordismo compacto ( n + 1)-dimensional entre M y N en la categoría C = Diff , PL o Top tal que W , M y N están simplemente conectados , entonces W es C -isomorfo a M × [0, 1]. El isomorfismo se puede elegir para que sea la identidad en M × {0}.
Esto significa que la equivalencia homotópica entre M y N (o, entre M × [0, 1], W y N × [0, 1]) es homotópica para un isomorfismoC.